Dérivée de Radon-Nikodym

Bonjour, voici un exercice sur lequel je bloque.

Soit $\mathfrak B$ la tribu borélienne sur $\mathbb R$.
1. Soient $\mu_1,\mu_2:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ deux mesures telles que pour tout intervalle ouvert et borné $I,\ \mu_1(I)=\mu_2(I)<+\infty$.
Montrer que $\mu_1=\mu_2$.

Ce que j'ai fait.
Tout ce que j'ai fait est que j'ai dit qu'il suffit de montrer pour les ouverts et que chaque ouvert s'écrit comme une union infinie de fermés bornés $I_n$.

Donc on a par exemple $\mu_1(a,b)=\mu_1(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_1(I_n)=\cup_n \mu_2(I_n)$ et
$\mu_2(a,b)=\mu_2(\cup_n I_n)\leq \cup_n \mu_2(I_n)=\cup_n \mu_1(I_n)$
Mais ça ne me sert pas à grand chose...

2. Soit $\mu:\mathfrak B\to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ une mesure telle que pour tout intervalle ouvert $]a,b[\subset \mathbb R$ non vide on a $\mu(]a,b[)=\arctan (b)-\arctan (a)$
et $\lambda:\mathfrak B \to \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ la restriction sur $\mathfrak B$ de la mesure de Lebesgue.
Montrer que $\mu \ll \lambda$ et déterminer la dérivée de Radon-Nikodym $\frac{d\mu}{d\lambda}$.

Ce que j'ai fait.
Pour ça la première affirmation est assez facile avec les ensembles dénombrables, mais je ne sais pas du tout comment calculer la dérivée de Radon-Nikodym...

Merci pour votre aide.