Interpréter écart type (lycée)

Cedv
Cedv
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
je suis embêté pour interpréter l'écart-type que ce soit en statistiques ou en probabilités.
Je prends un exemple :
soit la variable aléatoire Y donnant le gain en euros du joueur à un jeu.
On donne : P(X = -1) = 0,1 ; P(X = 2) = 0,5 et P(X = 5) = 0,4.
On trouve E(X) = 2,9 ... facile à interpréter
On trouve V(X) = 3,69 et l'écart type environ 1,92
Comment interpréter ce 1,92 ??

Un livre scolaire propose : "l'écart type est élevé donc le "risque" est important"... bof : élevé par rapport à la valeur de l'espérance ?

L'écart type me parait plus convaincant quand on doit comparer deux jeux ; ou quand on mesure la dispersion par exemple dans l'ancien programme de Tle avec la loi normale.
Peut-être que quelque chose m'échappe.
Merci pour vos idées !
Bonne journée.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il n'y a pas d'interprétation simple de l'écart type qui est une mesure utile de la dispersion, mais seulement une mesure mathématique. De ce point de vue, d'autres paramètres de dispersion sont bien plus utiles, en particulier en statistiques l'étendue et les interquantiles.

    Dans l'exercice que tu cites, le calcul de l'écart type n'apporte rien (on en savait bien plus avec l'énoncé), c'est un pur exercice de calcul pour apprendre comment il se calcule (cercle vicieux de l'apprentissage !). En effet, si je te dis "la moyenne est 2,9 et l'écart type vaut environ 1,92", tu en sais bien moins qu'avec les premières lignes de ton énoncé !

    Alors pourquoi en parle-t-on tant ? Parce que c'est un excellent outil mathématique, qu'il fait le lien entre stats et modèles probabilistes (avec d'autres outils).
    Mais il faut fuir tout exercice qui demande "d'interpréter" un écart type (les statisticiens ne le font jamais, d'ailleurs le bon outil est en fait la variance), et seulement accepter de comparer des écarts types sur des données de même nature ayant un vrai lien.

    Cordialement.
  • Cedv
    Cedv
    Merci gerard0 pour ton message !

    Cela permet de replacer ce type d'exercices.


    Pourquoi dis-tu que la variance est en fait le bon outil plutôt que l'écart type ? Pour des calculs simplifiés ? Mais en même temps, l'écart type a l'unité des valeurs de la v.a. ...
  • gerard0
    gerard0
    La variance a de bonnes propriétés mathématiques, on a même un estimateur simple et efficace. L'écart type est bien moins utilisable.
    On fabrique l'écart type pour revenir, effectivement, à la même unité que la variable; mais on ne sait pas en faire grand chose !
  • Sylviel
    Sylviel
    Je suis globalement d'accord avec gerard0 a un bémol près : les élèves auront l'occasion de faire des simulations type "Monte Carlo" et donc de donner des résultats avec une incertitude du type $m \pm 1.96\, \sigma/\sqrt{n}$. Dans ce cadre l'écart-type prends tout son sens comme "mesure de la dispersion". Mais effectivement, difficile à présenter proprement et simplement au niveau lycée...
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