Loi de Pareto

Réponses

  • zestiria
    zestiria
    1) $F_X(t) = 1 - \Big(\dfrac{\theta}{t } \Big)^ {\lambda} $
  • zestiria
    zestiria
    3 a) $Y_i \sim \mathcal{E}(\lambda) $
    donc $E \overline{Y}_n= EY_1= \frac{1}{ \lambda} $ et $V(\overline{Y}_n)= \frac{n}{ \lambda ^2}$
  • zestiria
    zestiria
    3b) i) $\sqrt{n} \dfrac{ ( \overline{Y}_n - \frac{1}{\lambda} ) } { \frac{1}{\lambda} } = \sqrt{n}\lambda ( \overline{Y}_n - \frac{1}{\lambda} ) \to N(0,1) $ par le TCL

    ii) $ \overline{Y}_n \to \frac{1}{\lambda} $ loi forte, puis je compose avec $\phi : z \mapsto \frac{1}{z} $
  • zestiria
    zestiria
    c) $\psi(t) := \frac{1}{\lambda t}$ on a $\psi(1)= \lambda$ , $\psi'(t)= - \frac{ 1}{ t^2 \lambda}$ et $ [ \psi'(1) ]^2 = \frac{1}{ \lambda}$,

    d'après b i) $ \sqrt{n} ( \lambda \overline{Y}_n -1 ) \to N(0,1) $ donc $ \sqrt{n} ( \phi( \lambda \overline{Y}_n ) - \phi(1) ) \frac{1}{ |\phi'(1) |} \to N(0,1) $
  • zestiria
    zestiria
    (d) $\sqrt{n} \dfrac{ \hat{\lambda}_n - \lambda } { \hat{\lambda}_n} \dfrac{ \hat{\lambda}_n }{ \lambda} \to N(0,1) $

    d'après c) et $\hat{\lambda}_n \to \lambda$ d'après b ii), on en déduit l'intervalle de confiance.
  • zestiria
    zestiria
    2 b) $Z$ ne tend converge pas en probabilité vers une autre variable aléatoire.
    $Z$ tend en proba vers une variable aléatoire $Z$ , si $ \exists Z, ~ \forall \epsilon ~ P( |Z_n-Z| > \epsilon) \underset{ n \to \infty}{\to} 0$


    Par l'absurde, on suppose que $Z_n \to Z$ une variable aléatoire. Soit $\epsilon = \frac{1}{4}$

    D'une part, $P( X_{n+1} > \frac{3}{2})$ est une constante $C$ non nulle indépendante de $n$, qui vaut $\frac{\theta}{ (\frac{3}{2} ) ^ {\lambda} }$ d'après 1).

    Alors existerait , pour tout $\eta$, $N$ tel que pour tout $n >N$,
    $P( |Z_{n}- Z| > \epsilon ) < \frac{ \eta}{2} $ et alors $P( |Z_{n} - Z | > \frac{1}{4}) < \frac{ \eta}{2}$
    donc $0< P( |Z_{n} - Z | > \frac{1}{4} ) + P( |Z_{n+1} - Z | > \frac{1}{4} ) < \eta $

    mais $C < P( |Z_{n} - Z | > \frac{1}{4} ) + P( |Z_{n+1} - Z | > \frac{1}{4} )$ avec $C>0$ qui ne dépend pas de $n$.
    Cette contradiction prouve que $Z_n$ ne converge pas en probabilité vers une autre variable aléatoire.
  • zestiria
    zestiria
    Que faut-il faire pour la question 2a) ?
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Pour la question 2. a il faut travailler avec les évènement contraires.

    C'est à dire si $|Z_{n}-Z |\leq 1/4$ et $ |Z_{n+1}-Z |\leq 1/4$ alors montre que $X_{n+1}\leq 3/2$
     
  • zestiria
    zestiria
    L'inégalité triangulaire ne donne pas grand-chose, j'ai pensé à la moyenne harmonique. Quelle est la solution ?
  • bd2017
    bd2017
    Effectivement ça ne marche pas. Cela ne semble pas facile.

    Peut être commencer par démontrer la propriété pour une v.a Z certaine (c'est à dire Z=constante) ?
     
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour.

    Pour le $2a$, il faut, me semble-t-il, utiliser essentiellement le fait que:$\:\:\boxed{\forall n \in \N^*,\quad Z_{n+1} = Z_nX_{n+1}, \quad\mathbb P [X_n \geqslant 1] =\mathbb P [Z_n \geqslant 1] =1.}\quad$ Ainsi:
    $\bullet\:$ Si $\:z< \dfrac 34,\:\:$ alors: $\quad \mathbb P \Big[|Z_n-z|> \dfrac 14 \Big] =1\:$ et l'inégalité recherchée est établie.
    $\bullet\:$ Si $ \dfrac 34 \leqslant z <\dfrac 54, \:\:$ alors:$\quad \Big[|Z_n -z|\leqslant \dfrac 14\Big]\cap \Big[|Z_{n+1} -z|\leqslant\dfrac 14 \Big] =\Big[1\leqslant Z_n\leqslant z+\dfrac 14 \Big]\cap\Big [1\leqslant Z_{n+1}\leqslant z+\dfrac 14\Big] \subset \Big[ X_{n+1}\leqslant z+\dfrac 14\Big]$
    $\Big[X_{n+1}>\dfrac 32 \Big] \subset \Big[X_{n+1} > z +\dfrac 14\Big]\subset \Big[|Z_n -z|> \dfrac 14\Big]\cup \Big[|Z_{n+1} -z| >\dfrac 14 \Big]$
    $\bullet\:$ Si $z\geqslant \dfrac 54,\:\:$ alors: $\quad \Big[|Z_n -z|\leqslant \dfrac 14\Big]\cap \Big[|Z_{n+1} -z|\leqslant\dfrac 14 \Big] \subset \Big[X_{n+1}\leqslant \dfrac {z+1/4}{z-1/4}\Big] \subset \Big [X_{n+1}\leqslant \dfrac 32 \Big],$ et on obtient à nouveau l'inclusion:
    $\Big[X_{n+1}>\dfrac 32 \Big] \subset \Big[|Z_n -z|> \dfrac 14\Big]\cup \Big[|Z_{n+1} -z| >\dfrac 14 \Big].\quad$Cette dernière entraîne alors:
    $$\forall z\geqslant \dfrac 34, \quad\mathbb P \Big[ X_{n+1}>\dfrac 32\Big ] \leqslant \mathbb P\left(\Big[|Z_n -z|> \dfrac 14\Big]\cup \Big[|Z_{n+1} -z|>\dfrac 14 \Big] \right)\leqslant \mathbb P\Big[|Z_n -z|> \dfrac 14\Big] +\mathbb P\Big[|Z_{n+1} -z|>\dfrac 14 \Big] \:\square$$
  • zestiria
    zestiria
    $X_{n}$ suit une loi de Pareto de support $[\theta, \infty [$, comment peut-on savoir que $P(X_n \geq 1)=1$ ?
    Même chose pour $Z_n$.
  • ErB
    ErB
    Car $\theta >1$.
  • zestiria
    zestiria
    Merci,

    il fallait noter que :
    - $Z_n$ et $X_{n+1}$ sont minorés par $1$
    - $X_{n+1}$ est le ratio $ \frac{Z_{n+1} }{ Z_n} $ donc il faut contrôler chaque terme du quotient comme dans le 3e cas
    -découper suivant la valeur de $z$
    - prouver le sens direct ou prendre la négation


    Il s'agit d'exercices de niveau prépa HEC.
  • Giovva
    Giovva
    Bonjour zestiria,
    juste par curiosité j'aimerais savoir d'où viennent ces sujets ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 23

Arnaud_GJean-Louis Aymemath2stfj +19 Invités