Placement et temps d'arrêt

1) $[q_n]$ est minorée par $0$ et décroissante car $q_{n+1}= q_n u_n$.

3) $\ln q_n = \sum_{k=1}^n \ln u_k $ .Or $\ln(u_k)= \ln( u_k-1 +1 ) \sim u_k -1 $. La série $[ \ln u_k]$ a même nature que la série $ [ u_k -1]$ Les deux termes ont le même signe ,constant (négatif). Les équivalents sont pris en $1$.

5a) $P(N=n) = \prod_{k=1}^{n-1} F(1 +k \tau) ( 1 - F( 1 +n \tau))$

5b) On peut ne jamais sortir du placement, c'est 3) avec avec la série de terme général $u_k=F(1 +k \tau)$.

$P(N=\infty)= \bigcap_{k=1}^{\infty} F(1 +k \tau)$

5 c ii) c$ 1- u_n= e^{ -k \tau} = (e^{-\tau} )^k $, c'est une série géométrique convergente, donc $N$ fini ps.

6) Déja, le lemme de Wald est inopérant car $ Y_N - 1 = \sum_{k=0}^N X_{k+1} - X_k $, mais $N$ dépend des $X_i$.
$Y \geq N \tau$ ps

Soit $y$, on note $n_y= \sup {k : k\tau \leq y < (k+1) y }$

$
\begin{align*}
P(Y <y) &= P ( Y <y \bigcap_{n=1}^{n_y} N=n) \\
&= \sum_{n=1}^{n_y} P( X_n -1 <y | N=n) P(N=n) \\
&= \sum_{n=1}^{n_y} P( n \tau \leq X_n < y ) P(N=n) \star \\
&= \sum_{n=1}^{n_y} ( F(y+1) - F( n \tau +1) ) P(N=n) \\
&= \sum_{n=1}^{n_y} \{ ( F(y+1) - F( n \tau +1) ) \prod_{k=1}^{n-1} F(1 +k \tau) ( 1 - F( 1 +n \tau)) \} \\
\end{align*}
$