Convergence et inverse

1(a) $p_n(x)= P( \sqrt{n} \frac{\overline{X_n} - m}{ \sigma} \leq \sqrt{n} \frac{ (x-m) }{\sigma})$
donc $P_n(m)= P( \sqrt{n} \frac{\overline{X_n} - m}{ \sigma} \leq 0) \to \Phi(0)= \frac{1}{2} $

(b) $\overline{X_n} \overset{ p}{\to} m \Rightarrow \forall \epsilon > 0, P( | \overline{X_n} - m | > \epsilon) \to 0$
or $\{ | \overline{X_n} - m | > \epsilon \} = \{ \overline{X_n} - m > \epsilon \bigcup \overline{X_n} - m < -\epsilon \} \supset
\{ \overline{X_n} - m > \epsilon \} $ \\
donc $P( | \overline{X_n} - m | > \epsilon ) \geq P( \overline{X_n} - m < - \epsilon ) = p_n( m- \epsilon) \leq 0$
Le terme de gauche tend vers zéro d'où ii)


De même $P( \overline{X_n} - m > \epsilon )=1- p_n(m+ \epsilon) \to 0 $ d'où $p_n(m+ \epsilon) \to 1$

3a) $\psi(r) = \frac{1}{r^2}$ est convexe donc pour tous $t_1 \dots t_n >0$ $\psi(\overline{t}) \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \psi(t_i) $

4 a) $EX_n=1$ et $ EX_n^2=n$ donc $Var(X_n)=n-1$

4c) i) la tangente en $0$ de $z \mapsto e^{-z}$ est en dessous de sa courbe, inégaliét de convexité.

ii) Minoration par le nombre de termes (n) $\times$ le plus petit terme $\frac{1}{2n}$

(d) D'après iii) , $P( \overline{ X_{2n} } \geq \frac{1}{2} )\geq P( \bigcup_{k=n+1}^{2n} X_k=k] ) \geq 1 - \frac{1}{ \sqrt{e} } $

donc la suite extraite $X_{2n} $ ne tend pas en probabilité vers zéro donc $ X_{n}$ non plus :
soit $\epsilon = \frac{1}{2}$, soit $u_n= P( \overline{ X_{n} } > \epsilon) $ , c'est une suite réelle qui ne converge pas vers $0$ car la suite extraite $u_{2n}$ ne converge pas vers zéro.