Domaine d'un générateur à espace d'état fini

Je ne vois pas comment se passer de la résolvante $R_{\lambda}$ pour répondre à ta question ; voici un mauvais copier-coller d'une feuille d'exos

(Semi groupes de matrices stochastiques)
Soit l'application $t\mapsto S_t$ de $[0,\infty[$ dans l'ensemble $\mathcal{S}_n$ des matrices stochastiques telle que $S_tS_s=S_{t+s}$ pour tous $t$ et $s\geq 0$, telle que $t\mapsto S_t$ soit continue et telle que $S_0=I_n.$
On veut montrer qu'alors il existe $A\in \mathcal{A}_n$ telle que $S_t=e^{tA}$ pour tout $t\geq 0$ (voir aussi les exercices 9.8 (3) et 9.7). On considère pour cela pour tout $\lambda>0$ la matrice à coefficients $\geq 0$
$$R_{\lambda}=\int_0^{\infty}e^{-t\lambda}S_tdt.

$$ 1) Pourquoi l'intégrale définissant $R_{\lambda}$ est-elle convergente ?
2) Montrer que $R_{\lambda}-R_{\mu}=(\mu-\lambda)R_{\lambda}R_{\mu}.$
(Méthode : faire le changement de variable $(t,s)\mapsto (t,u)=(t,t+s)$ dans l'intégrale double qui représente $ (\mu-\lambda)R_{\lambda}R_{\mu}).$
- Notons $E_{\lambda}\subset \mathbb{R}^n$ l'espace image de $R_{\lambda}.$
En écrivant $ R_{\lambda}=(I_n+(\mu-\lambda)R_{\lambda})R_{\mu}$ montrer que $E_{\lambda}\subset E_{\mu}.$
Comme symétriquement $E_{\mu}\subset E_{\lambda}$ en déduire que $E=E_{\lambda}$ ne dépend pas de $\lambda.$
3) Montrer que $\lim_{\lambda \rightarrow \infty}\lambda R_{\lambda}=I_n.$
Pour cela on prend pour norme sur l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ le nombre $ \|M\|=\max_{ij}m_{ij}$ et un nombre arbitraire $t_0$ pour écrire
\begin{eqnarray*}
\|I_n-\lambda R_{\lambda}\|&=&\|\int_0^{\infty}\lambda e^{-t\lambda}(I_n-S_t)dt\|\\
&\leq &\int_0^{t_0}\lambda e^{-t\lambda}\|I_n-S_t\|dt+\int_{t_0}^{\infty}\lambda e^{-t\lambda}dt.\end{eqnarray*} En déduire que $E=\mathbb{R}^n$ et donc que $R_{\lambda}^{-1}$ existe.
4) Soit $\lambda >0$ fixé. Soit $y\in \mathbb{R}^n$ et $x=R_{\lambda}(y).$ Montrer que
$$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(S_t-I_n)x=\lambda x-y.
$$ Ecrire pour cela
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{t}(S_t-I_n)R_{\lambda}(y)&=&\frac{1}{t}\int_0^{\infty}e^{-s\lambda}S_{t+s}(y)ds -\frac{1}{t}\int_0^{\infty}e^{-s\lambda}S_s(y)ds\\
&=&\frac{e^{t\lambda}}{t}\int_t^{\infty}e^{-s\lambda}S_{s}(y)ds -\frac{1}{t}\int_0^{\infty}e^{-s\lambda}S_s(y)ds \\
&=&\frac{e^{t\lambda}-1}{t}\int_t^{\infty}e^{-s\lambda}S_{s}(y)ds -\frac{1}{t}\int_0^te^{-s\lambda}S_s(y)ds.
\end{eqnarray*} En déduire que $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}(S_t-I_n)=A,$ avec $A= \lambda I_n-R_{\lambda}^{-1}.$
Pourquoi $A$ ne dépend-il pas de $\lambda$ ?
5) En écrivant
$$ \frac{1}{s}(S_{s+t}-S_t)= \frac{1}{s}(S_{s}-I_n)S_t=S_t\frac{1}{s}(S_{s}-I_n),
$$ montrer que $AS_t=S_tA$ pour tout $t.$ A l'aide de la question 4 montrer que $t\mapsto S_t$ est dérivable et que $\frac{d}{dt}S_t=AP_t=P_tA.$
En déduire l'existence d'une matrice $C$ telle que $S_t=Ce^{tA}.$
Utiliser $S_0=I_n$ pour montrer $C=I_n.$