Estimateur de variance

Si $X_1,\ldots ,X_n$ sont iid Bernoulli de moyenne $p$ le plus simple est d\introduire
$$Y_n=(X_1-p)+\cdots+(X_n-p)$$ de calculer les 4 premiers moments de $Y_n$ pour en deduire les deux premiers moments de $$\hat{p}(1-\hat{p})=\left(p+\frac{Y_n}{n}\right)\left(q-\frac{Y_n}{n}\right).$$

Tu ne t’étais pas mal exprimé et j'avais bien compris. Une manière de calculer la variance est de calculer les deux premiers moments, n'est ce pas ? Si je calcule
$$\mathbb{E}((X_1-p))=0,\quad \mathbb{E}((X_1-p)^2)=pq,\quad \mathbb{E}((X_1-p)^3)=pq(q-p),\quad \mathbb{E}((X_1-p)^4)=pq(p^3+q^3),$$ j'obtiens $$\mathbb{E}(Y_n)=0,\quad \mathbb{E}(Y_n^2)=npq,\quad \mathbb{E}(Y_n^3)=npq(q-p),\quad \mathbb{E}(Y_n^4)=npq(p^3+q^3)+3n(n-1)p^2q^2.$$ Et donc puisque $$\hat{p}(1-\hat{p})=\left(p+\frac{Y_n}{n}\right)\left(q-\frac{Y_n}{n}\right)$$ tu obtiens
\begin{align*}
\mathbb{E}(\hat{p}(1-\hat{p}))&=pq\frac{n-1}{n},\\
\mathbb{E}((\hat{p}(1-\hat{p}))^2)&=p^2q^2+(p^2+q^2-4pq)\frac{1}{n^2}\mathbb{E}(Y_n^2)+2(p-q)\frac{1}{n^3}\mathbb{E}(Y_n^3)+\frac{1}{n^4}\mathbb{E}(Y_n^4).
\end{align*} Je n'ai pas le temps de vérifier les calculs, peut-être pourrais-tu le faire si tu as compris la méthode.

Tu as raison de douter si cela contredit l'avant derniere ligne du dernier post qu'on t'a envoye.

Je ne sais pas ce qu'est la simple methode delta, mais son desavantage est de donner un resultat faux.

Si la methode delta te dit que $\mathbb{E}(\hat{p}^2)=p^2-p$, c'est une mauvaise methode, puisque c'est faux.

La Delta-methode n’est pas une méthode, c’est un théorème de convergence.

Si j'ai $T_n$ normal asymptotiquement, et que je le compose par une fonction continue $\phi$, alors $ \phi(T_n)$ est normal asymptotiquement.

Moi je trouve que la variance de l'estimateur $\hat{p}(1-\hat{p})$ de $pq$ est aussi une fonction de $n$, et qui tend vers zéro avec $n$ : un peu de bon sens diegau, et pense à la loi des grands nombres.

Ma variance à moi est
$$\frac{pq}{n}(q-p)^2-\frac{2pq}{n^2}(p^2+q^2-4pq)+\frac{pq}{n^3}(p^2+q^2-5pq),$$ aux erreurs de calcul près - mais pas aux erreurs de méthode près.



Edit: Merci a Lou16 qui corrige mes erreurs avec
$$\frac{pq}{n}(q-p)^2-\frac{2pq}{n^2}(p^2+q^2-3pq)+\frac{pq}{n^3}(p^2+q^2-4pq),$$ formule qui a l'avantage d'etre nulle pour $n=1$ comme il se doit!