Tribu produit, tribu cylindrique,mesurabilité
Bonjour à tous, j'aimerais proposer quelques points sur les tribus que j'ai déduits à l'aide d'informations trouvées sur internet afin de m'assurer que je ne suis pas dans le faux. Je me donne $I$ un ensemble non vide, $\big((F_i, \mathcal{B}_i)\big)_{i \in I}$ une famille d'espaces mesurables et $(E, \mathcal{A})$ un autre espace mesurable.
1) Un cylindre est un élément de $\prod_{i \in I} \mathcal{B}_i$ dont le terme général diffère au plus un nombre fini de fois des ensembles pleins (les $F_i$).
2) La tribu engendrée par la classe des cylindres est la plus petite tribu sur $F : = \prod_{i \in I} F_i$ rendant mesurable les projections.
3) Puisqu'on veut que les cylindres engendrent la plus petite tribu sur $F$ rendant mesurable les projections on peut modifier la définition donnée en 1) d'un cylindre et dire que son terme général diffère au plus une fois des ensembles pleins.
4) La tribu produit sur $F$ est la tribu engendrée par les cylindres.
1) Un cylindre est un élément de $\prod_{i \in I} \mathcal{B}_i$ dont le terme général diffère au plus un nombre fini de fois des ensembles pleins (les $F_i$).
2) La tribu engendrée par la classe des cylindres est la plus petite tribu sur $F : = \prod_{i \in I} F_i$ rendant mesurable les projections.
3) Puisqu'on veut que les cylindres engendrent la plus petite tribu sur $F$ rendant mesurable les projections on peut modifier la définition donnée en 1) d'un cylindre et dire que son terme général diffère au plus une fois des ensembles pleins.
4) La tribu produit sur $F$ est la tribu engendrée par les cylindres.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
1) Je dirais plutôt qu'un cylindre est un sous-ensemble de $\prod_{i \in I} F_i$ de la forme $\prod_{i \in I} B_i$ avec $B_i\in \cal B_i$ égal à $F_i$ sauf pour un nombre fini d'indices $i$. Mais sinon, dans l'idée tu avais bien compris.
2) Oui.
3) La définition d'un cylindre et celle donnée en 1) et pas une autre (à ma connaissance), mais les produits de sous-ensembles des $F_i$ égaux à $F_i$ sauf pour un indice $i$ engendrent bien la même tribu que les cylindres.
4) Oui.
On peut remarquer que la tribu produit contient aussi les sous-ensembles de $\prod_{i \in I} F_i$ de la forme $\prod_{i \in I} B_i$ avec $B_i\in \cal B_i$ égal à $F_i$ sauf pour un nombre dénombrable d'indices $i$.