Vecteur gaussien non-standard normalisé

Noveang · September 2020

Bonjour à tous
Je suis intéressé par la distribution de l'angle entre un vecteur aléatoire gaussien $Y \sim \mathcal{N}(0, \mathsf{A})$ et un vecteur unitaire quelconque $v \in \mathbb{R}^k$. En d'autres termes, je cherche la distribution de
$$ \arccos \Big(\big\langle\dfrac{Y}{||Y||},~v\big\rangle\Big).

$$ Je sais déjà que la distribution angulaire dans le cas où $\mathsf{A} = I_k$ est proportionnelle à $\sin(\theta)^{k-2}$, mais comme visiblement je n'ai pas très bien compris comment est obtenu ce résultat, je n'arrive pas à l'adapter au cas où la matrice de covariance est quelconque.

Si quelqu'un pouvait me donner des pistes pour le calcul ou même la solution je serais ravi

P. · September 2020

Je ne crois pas que la loi soit simple, c'est-à-dire calculable. Sans perte de généralité on suppose $A=\mathrm{diag}(a^2_1,\ldots,a^2_n)$ et donc $X\sim (a_1Z_1,\ldots,a_nZ_n),$ avec $Z\sim N(0,I_n)$ et tu demandes en fait la loi de la va
$$\frac{(b_1Z_1+\cdots+b_nZ_n)^2}{a_1^2Z_1^2+\cdots+ a_n^2Z_n^2}$$ etape incontournable pour arriver à l'arccosinus. Pour $n=2$ c'est faisable car $Z_1/Z_2$ suit une loi de Cauchy. C'est peut[-être] aussi faisable plus généralement si les $a_i$ ne prennent que deux valeurs. Sinon, j'ai comme un doute.

Noveang · September 2020

En fait je pense que l'idée est de trouver le pendant du caractère uniformément réparti sur la sphère unité lorsque $Y$ est un vecteur gaussien standard. Dans mon idée, dans le cas d'une matrice de covariance $\mathsf{A}$ donnée, on aura plutôt une distribution "ellipsoïdale" sur la sphère unité de $\mathbb{R}^n$ avec a priori une plus forte densité dans les zones angulaires en directions des vecteurs propres associées aux hautes valeurs propre de $\mathsf{A}$. Mais j'ai du mal à formaliser l'idée en effet

Vecteur gaussien non-standard normalisé

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