Maximum de vraisemblance

Je ne sais pas faire cet exercice, mais on peut chercher ensemble.
Tu dis que tu dois dans un premier temps calculer le produit de i allant de 1 à n de 1/A sur [0;A]

Tu es sûr ? Pourquoi faire ce calcul ?
Et surtout, que veut dire ce calcul ? Si tu disais calculer le produit de i allant de 1 à n de 1/A, je saurais faire ce calcul, mais tu ajoutes à la fin de la phrase sur [0;A] , et là, la phrase ne veut plus rien dire.

Donc tu veux multiplier $1/A$ par lui même $n$ fois ... ça donne : $(1/A)^n$

Je ne vois vraiment pas où ça va nous mener ; je dirais même : je suis sûr que ça ne mène nulle part.

Si $X_1,\ldots,X_n\leq A$ alors $f_A(X_1.\ldots,X_n)=1/A^n.$ Si un des $X_i$ est plus grand que $A$ alors $f_A(X_1.\ldots,X_n)=0.$ Pour simplifier, notons $M=\max (X_1,\ldots,X_n).$ Alors pour $(X_1,\ldots,X_n)$ fixes, le maximum de $A\mapsto f_A(X_1.\ldots,X_n)$ est egal a $1/M^n$ et $M$ est l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Ne dis pas ça. Finalement, ton (1/A)^n était en fait un bon élément.
Pourquoi la dérivée n'était pas une bonne piste ?
Parce que calculer la dérivée, et dire : le max est atteit quand la dérivée vaut 0, c'est valable souvent, mais pas toujours. C'est valable si on a une courbe qui monte, puis qui descend. Dans ce cas, oui, on trouve le maximum en cherchant le point où la dérivée vaut 0.
Ici, on a une courbe qui ne fait que descendre : plus précisément, on a une courbe qui vaut 0, pour toutes les valeurs inférieures au max des $X_i$, puis qui prend une certaine valeur pour ce nombre, et qui ne fait que descendre au delà de ce nombre.
Le point le plus haut de la courbe, c'est donc le point correspondant au maximum des $X_i$

Pour $M$ fixe, peux-tu tracer la courbe représentative de $A\mapsto f_A(X_1,\ldots,X_n)$ et arrêter de pomper l'air avec la dérivée ? Si c'est trop dur commence par $n=2$ puis $n=1.$

Bon bon excuse moi, je ne dirai plus gros ballot (qui me paraissait amical) ni de t'obstiner a deriver. Je te laisse avec joie te contenter des conseils eclaires de lourrran.

On suppose $A > 0$ pour ne pas se créer des problèmes sans intérêt.

Tu veux calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance, c'est-à-dire le nombre $A$ qui maximise la vraisemblance $L(A) := f_A(X_1, ..., X_n)$.

$L(A)$ est une brave fonction réelle, donc parfois ça fait sens de regarder si elle dérivable, et où s'annule sa dérivée le cas échéant, afin de trouver ses points critiques et donc les maximum possibles (encore faut-il vérifier quel est le maximum). Mais parfois pour trouver le maximum on peut faire plus simple (on n'a pas toujours besoin de dériver, je dirais même qu'on a rarement besoin de dériver en réalité), ou peut-être même que la fonction n'est pas dérivable partout, ce qui est le cas ici.

En effet, si tu relis bien le message de P (http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2091750,2092026#msg-2092026), tu dois comprendre que $L(A) = \dfrac{1}{A^n}$ pour $A \geq M$, et $0$ sinon. Trace cette fonction pour $n=2$ ou $n=3$, tu verras bien qu'elle n'est pas continue partout (encore moins dérivable donc).

Tu peux certes dériver là où elle elle est dérivable pour trouver des points critiques, mais il ne faudra pas oublier que le maximum peut aussi être obtenue en les points où elle n'est pas dérivable ! (Ton cours ne dit qu'un maximum est obtenue forcément en un point critique que si la fonction est dérivable sur un intervalle ouvert).

En l’occurrence, sans dériver quoi que ce soit, on démontre tout de suite que son maximum est obtenue pour $A=M$, ce qui te sautera naturellement aux yeux (avec la preuve), une fois que tu auras dessiner $L(A)$. Ne reste plus qu'à bien comprendre pourquoi $L(A)$ vaut ce que P a dit qu'elle valait.