Fonction borélienne

Borelline
Borelline
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous,
Je sèche sur cet exo car je ne sais pas comment démarrer.
Soit f : R -> R, une fonction borélienne.
Montrer que l'ensemble des y dans R tel que :
{x \in R, f(x) = y} est de mesure ( de Lebesgue ) > 0
est négligeable.
Merci à vous,

Réponses

  • Corto
    Corto
    Il y a plusieurs façons de faire. Tu pourrais par exemple essayer de démontrer que l'ensemble de ces $y$ est en fait dénombrable.
  • Borelline
    Borelline
    Oui ! J'avais pensé à montrer qu'ils sont isolés mais je bloque !
  • Corto
    Corto
    Les points ne sont pas forcément isolés. Suppose que les $y$ sont non dénombrables et essaye d'aboutir à une contradiction, cela passe par le fait que les $f^{-1}(y)$ sont tous disjoints.
  • Borelline
    Borelline
    Je ne vois pas comment traduire intelligemment que les y sont non dénombrables,
    ils pourraient tous être inclus dans R\Q par exemple sans que je ne voie une contradiction
  • raoul.S
    raoul.S
    Si on pose pour $n\in\mathbb{N}^{*}$, $I_n:=[-n,n]$, qu'est-ce que tu peux dire de l'ensemble $E_n:=\{y\in\mathbb{R}\mid \lambda(f^{-1}(y)\cap I_n)>0\}$ ? Est-ce qu'il est dénombrable ?

    ($\lambda$ est la mesure de Lebesgue.)

    PS. Je ne sais pas si Corto a une autre idée...
  • Borelline
    Borelline
    Je ne comprends pas, un ensemble de mesure non nulle ne peut pas être une réunion non dénombrable de parties à mesure strictement positive ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Non si la réunion est disjointe et que ta mesure est $\sigma$-finie.
  • Chalk
    Chalk
    C'est un peu la même idée que pour montrer qu'une somme non dénombrable convergente a un nombre dénombrable de termes non nuls.

    $E_n$ est la réunion sur $m\in \mathbb N^*$ des $A_{m,n} = \{ y\in\mathbb R \mid \lambda(f^{-1}(y) \cap I_n) > \dfrac{1}{m}\}$.

    Or, comme les antécédents sont disjoints, $A_{m,n}$ est de cardinal fini, et même de cardinal strictement inférieur à $2nm$.

    Donc $E_n$ est dénombrable, et donc l'union des $E_n$ aussi.

    J'espère ne pas dire de bêtise, en ce moment la reprise est difficile pour moi :-D
  • Chalk
    Chalk
    Il y a encore un dernier passage, il faut établir l'égalité entre l'ensemble de départ $S = \{ y \mid \lambda(f^{-1}(y)) > 0 \}$ et l'union des $E_n$.

    On a $\lambda(f^{-1}(y)\cap I_n) \to \lambda(f^{-1}(y))$ (continuité monotone). Si $y \in E_n$ alors évidemment il appartient à $S$, et si $y\in S$, alors il existe un $n$ tel qu'il appartient à $E_n$ par la convergence précédente.

    Je pense que c'est réglé, mais à vrai dire il doit y avoir moyen de faire bien plus court en partant des mêmes idées.
  • Borelline
    Borelline
    Merci à vous, j'ai tout ce qu'il me faut pour conclure !
  • Corto
    Corto
    C'était bien ce que j'avais en tête Raoul.S oui. J'ai le vague souvenir qu'il existe aussi une preuve ou on retrouve "naturellement" que l'ensemble des $y$ est négligeable (au lieu de dénombrable) lorsque $f$ est intégrable, mais peut-être que ma mémoire me joue des tours.

    Re-bienvenue à skyffer au passage ;-)
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