Fonction borélienne
Bonjour à tous,
Je sèche sur cet exo car je ne sais pas comment démarrer.
Soit f : R -> R, une fonction borélienne.
Montrer que l'ensemble des y dans R tel que :
{x \in R, f(x) = y} est de mesure ( de Lebesgue ) > 0
est négligeable.
Merci à vous,
Je sèche sur cet exo car je ne sais pas comment démarrer.
Soit f : R -> R, une fonction borélienne.
Montrer que l'ensemble des y dans R tel que :
{x \in R, f(x) = y} est de mesure ( de Lebesgue ) > 0
est négligeable.
Merci à vous,
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Réponses
ils pourraient tous être inclus dans R\Q par exemple sans que je ne voie une contradiction
($\lambda$ est la mesure de Lebesgue.)
PS. Je ne sais pas si Corto a une autre idée...
$E_n$ est la réunion sur $m\in \mathbb N^*$ des $A_{m,n} = \{ y\in\mathbb R \mid \lambda(f^{-1}(y) \cap I_n) > \dfrac{1}{m}\}$.
Or, comme les antécédents sont disjoints, $A_{m,n}$ est de cardinal fini, et même de cardinal strictement inférieur à $2nm$.
Donc $E_n$ est dénombrable, et donc l'union des $E_n$ aussi.
J'espère ne pas dire de bêtise, en ce moment la reprise est difficile pour moi :-D
On a $\lambda(f^{-1}(y)\cap I_n) \to \lambda(f^{-1}(y))$ (continuité monotone). Si $y \in E_n$ alors évidemment il appartient à $S$, et si $y\in S$, alors il existe un $n$ tel qu'il appartient à $E_n$ par la convergence précédente.
Je pense que c'est réglé, mais à vrai dire il doit y avoir moyen de faire bien plus court en partant des mêmes idées.
Re-bienvenue à skyffer au passage ;-)