Processus : [X et Y versions] => [X=Y en loi]
Bonjour
J'ai une question qui est apparemment triviale (selon Wikipédia et le cours de mon prof).
Soient $\left( \Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé, $\left( E , \mathcal{B} \right)$ un espace mesurable, et $X = \left( X_{t}\right)_{t \in \mathbb{R}_{+}}$ et $Y = \left( Y_{t}\right)_{t \in \mathbb{R}_{+}}$ deux processus stochastiques sur $\left( \Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \right)$ et à valeurs dans $\left( E , \mathcal{B} \right)$.
On dit que $X$ et $Y$ sont versions l'un de l'autre si pour tout $t\geq 0$, $\mathbb{P}(X_{t} = Y_{t}) = 1$.
On dit que $X$ et $Y$ ont même loi si pour tout $B \in \mathcal{B}^{\mathbb{R}_{+}}$, $\mathbb{P}(X \in
= \mathbb{P}(Y\in $.
Par le théorème de Kolmogorov, l'égalité des lois fini-dimensionnelles des processus $X$ et $Y$ est une condition suffisante à l'égalité en loi de $X$ et $Y$, ie.
\begin{align*}
\left[ X = Y \text{ en loi}\right] \iff \big[ \forall n \in &\mathbb{N}^{\star},\ \forall 0 \leq t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{n} ,\ \forall B_{1}, \ldots , B_{n} \in \mathcal{B},\\
& \mathbb{P} \left( X_{t_{1}} \in B_{1} , \ldots , X_{t_{n}} \in B_{n} \right) = \mathbb{P} \left( Y_{t_{1}} \in B_{1} , \ldots , Y_{t_{n}} \in B_{n} \right)\big].
\end{align*} Dans mon cours (et sur Wikipédia), il est dit que l'implication
$$
\left[ X \text{ et } Y \text{ versions l'un de l'autre} \right] \Rightarrow \left[ X = Y \text{ en loi} \right]
$$ est immédiate ; néanmoins, je ne vois pas pourquoi...
Le problème revient finalement à montrer que
$$
\left[ X_{1} = Y_{1} \text{ et } X_{2} = Y_{2} \text{ presque sûrement }\right] \Rightarrow \left[ (X_{1},X_{2}) = (Y_{1} , Y_{2}) \text{ en loi} \right].
$$ Je prends donc $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$, ai-je le droit d'écrire ceci sous l'hypothèse $X_{1} = Y_{1} \text{ et } X_{2} = Y_{2} \text{ presque sûrement}$ :
\begin{align*}
\mathbb{P}\left( (X_{1},X_{2}) \in B_{1} \times B_{2} \right)&= \mathbb{P}\left( X_{1}\in B_{1} , X_{2} \in B_{2} \right)\\
&\stackrel{\text{?}}{=}\mathbb{P}\left( Y_{1}\in B_{1} , Y_{2} \in B_{2} \right)\\
&=\mathbb{P}\left( (Y_{1},Y_{2}) \in B_{1} \times B_{2} \right)
\end{align*} et si oui, pourquoi ?
Un grand merci d'avance pour vos réponses,
El_Bibou
J'ai une question qui est apparemment triviale (selon Wikipédia et le cours de mon prof).
Soient $\left( \Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \right)$ un espace probabilisé, $\left( E , \mathcal{B} \right)$ un espace mesurable, et $X = \left( X_{t}\right)_{t \in \mathbb{R}_{+}}$ et $Y = \left( Y_{t}\right)_{t \in \mathbb{R}_{+}}$ deux processus stochastiques sur $\left( \Omega , \mathcal{F} , \mathbb{P} \right)$ et à valeurs dans $\left( E , \mathcal{B} \right)$.
On dit que $X$ et $Y$ sont versions l'un de l'autre si pour tout $t\geq 0$, $\mathbb{P}(X_{t} = Y_{t}) = 1$.
On dit que $X$ et $Y$ ont même loi si pour tout $B \in \mathcal{B}^{\mathbb{R}_{+}}$, $\mathbb{P}(X \in
= \mathbb{P}(Y\in $.Par le théorème de Kolmogorov, l'égalité des lois fini-dimensionnelles des processus $X$ et $Y$ est une condition suffisante à l'égalité en loi de $X$ et $Y$, ie.
\begin{align*}
\left[ X = Y \text{ en loi}\right] \iff \big[ \forall n \in &\mathbb{N}^{\star},\ \forall 0 \leq t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{n} ,\ \forall B_{1}, \ldots , B_{n} \in \mathcal{B},\\
& \mathbb{P} \left( X_{t_{1}} \in B_{1} , \ldots , X_{t_{n}} \in B_{n} \right) = \mathbb{P} \left( Y_{t_{1}} \in B_{1} , \ldots , Y_{t_{n}} \in B_{n} \right)\big].
\end{align*} Dans mon cours (et sur Wikipédia), il est dit que l'implication
$$
\left[ X \text{ et } Y \text{ versions l'un de l'autre} \right] \Rightarrow \left[ X = Y \text{ en loi} \right]
$$ est immédiate ; néanmoins, je ne vois pas pourquoi...
Le problème revient finalement à montrer que
$$
\left[ X_{1} = Y_{1} \text{ et } X_{2} = Y_{2} \text{ presque sûrement }\right] \Rightarrow \left[ (X_{1},X_{2}) = (Y_{1} , Y_{2}) \text{ en loi} \right].
$$ Je prends donc $B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}$, ai-je le droit d'écrire ceci sous l'hypothèse $X_{1} = Y_{1} \text{ et } X_{2} = Y_{2} \text{ presque sûrement}$ :
\begin{align*}
\mathbb{P}\left( (X_{1},X_{2}) \in B_{1} \times B_{2} \right)&= \mathbb{P}\left( X_{1}\in B_{1} , X_{2} \in B_{2} \right)\\
&\stackrel{\text{?}}{=}\mathbb{P}\left( Y_{1}\in B_{1} , Y_{2} \in B_{2} \right)\\
&=\mathbb{P}\left( (Y_{1},Y_{2}) \in B_{1} \times B_{2} \right)
\end{align*} et si oui, pourquoi ?
Un grand merci d'avance pour vos réponses,
El_Bibou
Réponses
-
On a successivement
\begin{align*}
\mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2)$
& = \mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, X_1 = Y_1, X_2 = Y_2) &(\star) \\
& = \mathbb{P}(Y_1 \in B_1, Y_2 \in B_2, X_1 = Y_1, X_2 = Y_2) \\
& = \mathbb{P}(Y_1 \in B_1, Y_2 \in B_2) &(\star)
\end{align*} où l'on a utilisé deux fois le résultat $(\star)$ :
\begin{align*}
\mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2)
&= \mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, X_1 = Y_1, X_2 = Y_2) + \mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, (X_1 \neq Y_1\, \text{ou} \, X_2 \neq Y_2))\\
& = \mathbb{P}(X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, X_1 = Y_1, X_2 = Y_2)
\end{align*} puisque l'on a l'inclusion d'événements $[X_1 \in B_1, X_2 \in B_2, X_1 \neq Y_1\, \text{ou} \, X_2 \neq Y_2] \subset [X_1 \neq Y_1 \,\text{ou}\, X_2 \neq Y_2]$
avec $\mathbb{P}(X_1 \neq Y_1 \,\text{ou}\, X_2 \neq Y_2) \leq \mathbb{P}(X_1 \neq Y_1) + \mathbb{P}(X_2 \neq Y_2) = 0$ (sous-sigma additivité d'une mesure).
La preuve est péniblement longue mais n'utilise que le fait que $\mathbb{P}(A) = 1 \implies \forall B, \mathbb{P}(A \cap = 1$.
Par contre, pour montrer que l'on a l'implication $[X \, \text{et} \, Y \,\text{versions l'un de l'autre}\,] \implies [X = Y \,\text{en loi}\,]$, il faudrait plutôt prendre $t_1, ..., t_n$ et $B_1, ..., B_n$; la preuve ci-dessus s'adapte avec plus de longueur. -
Merci beaucoup pour votre réponse, je crois avoir également trouvé une preuve qui semble convenir : on a
\begin{align*}
\mathbb{P}\left( X_{1} \in B_{1} , X_{2} \in B_{2} \right) &= \mathbb{E}\left( 1_{\left( B_{1} , B_{2} \right)} \circ \left( X_{1} , X_{2} \right) \right)\\
&= \int_{\Omega} 1_{\left( B_{1} , B_{2} \right)} \circ \left( X_{1} , X_{2} \right) d \mathbb{P}\\
&= \int_{\Omega} 1_{\left( B_{1} , B_{2} \right)} \circ \left( Y_{1} , Y_{2} \right) d \mathbb{P}\\
&= \mathbb{E}\left( 1_{\left( B_{1} , B_{2} \right)} \circ \left( Y_{1} , Y_{2} \right) \right)\\
&=\mathbb{P}\left( Y_{1} \in B_{1} , Y_{2} \in B_{2} \right),
\end{align*} qu'on généralise ensuite pour $t_{1} , \ldots , t_{n}$ et $B_{1} , \ldots , B_{n}$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 8
+7 Invités