Espace de Rademacher
Bonsoir,
Si $n,q \in \N^{*}$ on note $\Omega_{q,n}= \{\omega=(\omega_{i,j} , 1 \leq i \leq q, 1 \leq j \leq n) \ \text{tels que} \ \omega_{i,j}=\pm 1 \ \forall i,j \}$
Soit $\varphi : \begin{array}{rrcl}
&\Omega_{1,n} &\longrightarrow &\mathcal P(\{1, \cdots , n \}) \\
& \omega=(\omega_1, \cdots , \omega_n)& \longmapsto &\{i \in [|1,n \} \ \omega_i=1 \}
\end{array}$
Je souhaite montrer que $\varphi$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Mais j'ai un peu de mal.
Je sais que $\varphi^{-1} :\begin{array}{rcl}
\mathcal P(\{1, \cdots , n \})& \longrightarrow &\Omega_{1,n} \\
A &\longmapsto& ? \end{array} $
Si $n,q \in \N^{*}$ on note $\Omega_{q,n}= \{\omega=(\omega_{i,j} , 1 \leq i \leq q, 1 \leq j \leq n) \ \text{tels que} \ \omega_{i,j}=\pm 1 \ \forall i,j \}$
Soit $\varphi : \begin{array}{rrcl}
&\Omega_{1,n} &\longrightarrow &\mathcal P(\{1, \cdots , n \}) \\
& \omega=(\omega_1, \cdots , \omega_n)& \longmapsto &\{i \in [|1,n \} \ \omega_i=1 \}
\end{array}$
Je souhaite montrer que $\varphi$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Mais j'ai un peu de mal.
Je sais que $\varphi^{-1} :\begin{array}{rcl}
\mathcal P(\{1, \cdots , n \})& \longrightarrow &\Omega_{1,n} \\
A &\longmapsto& ? \end{array} $
Réponses
-
C'est la même chose que pour les indicatrices
-
Ok merci j'ai trouvé.
On prend $\varphi ^{-1} (A)= (\omega_1, \cdots ,\omega_n)$ où $\omega_i =1$ si $i \in A$ et $-1$ sinon. -
Est-ce que ton $\phi^{-1}(A)$ est dans $\Omega_{1,n}$ ?
-
Non en effet, je viens de corriger mon erreur, c'est "$-1$ sinon" et pas "$0$ sinon".
-
Tu attaques maintenant le sujet des Mines de 2018 sur le théorème de Komlós ?
Je viens de conseiller à l'un de mes meilleurs élèves, redoublant, de ne pas le faire tout de suite... et de le garder pour un peu plus tard dans l'année, quand il aura à nouveau acquis toute sa maîtrise.
Je suis fan de ce sujet : c'est un gros délire de notations (particulièrement la question 21) mais il n'est pas du tout aussi dur qu'il paraît. Seulement, il faut avoir un peu de recul et réussir à jongler avec l'algèbre linéaire et les probabilités simultanément. -
J'avais commencé pendant les vacances puis j'avais abandonné car je trouvais la question 12 extrêmement difficile...
Les notations sont difficiles à digérer.
J'avais trouvé seul les questions : 1,2,3,4,5,6, moitié de 9, 15,18,19,21 à moitié, 22.
Par contre j'ai un peu de mal avec $\Omega_{1,n}$ c'est un vecteur colonne ou une matrice à $1$ ligne et $n$ colonnes ?
Parce que dans la question 21, si je pose $\mathcal V=\{L_1 ^{(n)}, \cdots, L_d ^{(n)} \} $ et $v=L_i ^{(d)}$ pour tout $i \in [|1,d|]$
Je trouve les questions 12, 20, rarement vu des questions aussi compliquées. La 17 est assez dure aussi. La 13 pas évidente. La rapport du jury dit que la 13 est difficilement faisable en temps limité avec le programme de PC.
La 23 est trop technique.
La fin est dure est les questions prennent chacune une page à rédiger. Ce sujet est infaisable en 3 heures ! Même en 4 heures. Certaines questions demandent trop de réflexion.
Il y a un détail que je n'ai pas compris dans la solution de la question 24 :
"Si $k=n$ alors un ensemble $n$ universel contient $\Omega_{1n}$ et donc $\R^n=Vect(\Omega_{1n}) \subset Vect (\mathcal V)$
D'où $(\R^n)^{\perp}= \{0 \} \supset Vect (\mathcal V)$ donc l'orthogonal de $ Vect (\mathcal V)$ est égal à $\{0 \}$"
Pourquoi un ensemble $n$ universel contient $\Omega_{1n}$ ?
Dans la définition on a $\mathcal V \subset \Omega_{1,n}$ -
J'ai du mal à comprendre le fait qu'on puise poser comme ensemble $k$ universel : $\mathcal V=\{L_1 ^{(n)}, \cdots, L_d ^{(n)} \} \subset \Omega_{1n} $
$\Omega_{1n}$ est une matrice $1$ ligne $n$ colonne alors que $L_i ^{n}$ est une matrice $1$ ligne $n$ colonnes.
Je ne comprends pas cette subtilité pourtant le corrigé l'utilise tout le temps.
J'ai terminé le sujet, la dernière question est pas dure en fait, mais il me reste ce détail à comprendre. -
$\Omega_{1,n}$ n'est PAS une matrice. C'est un ensemble de matrices !!
PS : Je ne vois pas comment tu as pu faire tout le sujet sans avoir compris la 1ère définition du sujet... -
Ok merci. Je commence seulement à mieux comprendre le langage mathématique. C'est un ensemble de matrices à $1$ ligne et $n$ colonnes. C'est bien un ensemble de matrices lignes.
@Bisam
Les questions 12 et 20 sont-elles difficiles ? Pour la 20, savoir quelle anti-chaîne poser et la bijection franchement faut être un monstre en maths.
Pour la 24, pourquoi si $k=n$ alors un ensemble $n$ universel contient $\Omega_{1n}$ ? -
J'ai compris finalement.
Si $k=n$ alors pour tout $\omega \in \Omega_{1n}$ il existe $v \in \mathcal V$ tel que $\omega=v$ donc $\omega \in \mathcal V$.
D'où $\boxed{\Omega_{1n} \in \mathcal V}$ -
Ta dernière ligne n'a aucun sens...
Tu admets que $\Omega_{1,n}$ est un ensemble de matrices. $\mathcal{V}$ l'est aussi.
Par conséquent, écrire $\Omega_{1,n}\in \mathcal{V}$ est une aberration (voire une abomination).
Ensuite, tu dis que tu as terminé le sujet... mais tu n'as pas compris les notations, et tu n'as pas compris non plus les réponses à certaines questions que tu es censé avoir traitées.
Tu te mens à toi-même !! Tu n'as PAS terminé ce sujet. Tu l'as à peine compris... -
J'ai terminé le sujet c'est à dire que j'ai réussi à comprendre la correction doc solus.
Une dizaine de questions sur les 26 sont d'un niveau inaccessible à la majorité des étudiants.
Le niveau est bien trop soutenu pour moi à partir de Q11 excepté Q15-Q18-Q19 qui sont faciles.
Peut être que dans 2-3 ans j'arriverai à faire seul ce genre de sujet.
$\Omega_{1n} \subset \mathcal V$ en effet $\mathcal V$ est un ensemble. -
Ouais temps perdu quoi
-
Pour répondre à tes interrogations, la question 12 n'est pas très difficile mais elle pénible à rédiger parfaitement.
La question 20 est en revanche très dure car il faut vraiment avoir une vision d'ensemble de ce que peut être une anti-chaîne pour avoir l'idée de construire la bonne fonction... mais surtout, même en ayant la bonne fonction, ce n'est pas si évident que cela d'arriver à la conclusion !
Quant à la question 24, le passage que tu as encadré est évident, il provient immédiatement de la définition d'un ensemble $k$-universel. -
D'accord merci.
Oui je vais arrêter de trop lire des corrections. J'attends le livre Algèbre linéaire de Grifone que j'ai commandé.
J'essaierai de comprendre les démonstrations pour savoir les refaire seul.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 33
+29 Invités