Unicité mesure, sigma-finitude

blamethelag · September 2020

Bonjour
Je m'intéresse au théorème donnant l'unicité d'une mesure.

Si $(E, \mathcal{A})$ est un espace mesurable, $\mathcal{C}$ une classe de parties de $E$ engendrant $\mathcal{A}$ et stable par intersection et $\mu$ et $\nu$ deux mesures sigma-finies dans le sens où $E = \cup E_n$ est une union de d'éléments de $\mathcal{C}$ de mesure finies. Si $\mu$ et $\nu$ coïncident sur $\mathcal{C}$ et sur les $(E_n)$ alors $\mu$ = $\nu$.

Je sais comment montrer le cas $\mu(E) = \nu(E) < \infty$ et pour passer au cas général je bloque. Je lis partout qu'il faut supposer les $(E_n)$ croissants, est-ce nécessaire ?

noobey · September 2020

Hello!
Soit $A \in E$

Je pose $A_n = A \cap (\cup_{i=1}^n E_i)$
Tu as $\mu(A_n) = \nu(A_n)$

Et pour toute mesure, si $(A_n)$ est une suite croissante alors $\mu(A_n) \to \mu(\cup_{i = 1}^{\infty} A_i)$

blamethelag · September 2020

Bonjour noobey et merci pour cette réponse.

J'avais déjà pensé à cette astuce pour rendre les $(E_n)$ croissants en gardant l'hypothèse qu'ils recouvrent $E$ en ayant des masses finies mais je ne pense pas que cela suffise. En effet ce que j'ai montré dans le cas de mesures finies nécessite que les $(E_n)$ soient dans $\mathcal{C}$ et a priori rien ne dit que les $(\cup_{k=0}^n E_k)_{n \in \mathbb{N}}$ sont dans cette classe.

Comment peux-tu affirmer directement que les $(A_n)$ ont mêmes mesures par $\mu$ et par $\nu$ ?

Aussi il faut prendre $A \in \mathcal{A}$ et non dans $E$.

raoul.S · September 2020

@blamethelag Tu peux le démontrer sans supposer que la suite $(E_n)$ est croissante. J'ai un bouquin où l'auteur démontre le cas où les mesures sont finies et pour le cas sigma-fini... laisse aimablement les détails au lecteur B-)-

Es-tu d'accord que pour tout $C\in \mathcal{C}$ de mesure finie et tout $A \in \mathcal{A}$, $\mu(A\cap C)=\nu(A\cap C)$ ?

Si oui tu peux montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $A \in \mathcal{A}$, $\displaystyle\mu \left(\bigcup_{k=0}^n A\cap E_k\right)=\nu\left(\bigcup_{k=0}^n A\cap E_k\right)$.

Et après... c'est fini.

blamethelag · September 2020

Bonsoir raoul.S et merci pour ta réponse. Ta méthode fonctionne très bien !

Bonne soirée.

Unicité mesure, sigma-finitude

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