Marche aléatoire

Je bloque sur la $1)b)$ je ne comprends pas à quoi sert l'ensemble $A_n$.

D'accord. Cette piste me semble intéressante.
Je pense avoir trouvé, je suis content de moi car c'est un sujet d'ENS BCSTP et je ne dispose pas de correction.

Soit $k \in [|0,n|]$.

On a $P(\dfrac{S_n+n}{2}=k)=\displaystyle\binom{n}{k} (\dfrac{1}{2})^k (\dfrac{1}{2})^{n-k}$

D'où $\boxed{P(\dfrac{S_n+n}{2}=k)=\displaystyle\binom{n}{k} (\dfrac{1}{2})^n}$

Par ailleurs, $\{\dfrac{S_n+n}{2}=k \}= \{S_n+n=2k \} = \{S_n = 2k-n \}$

Posons $k'=2k-n$. Alors $k=\dfrac{n+k'}{2}$ et donc $\boxed{k' \in A_n}$

$P(\dfrac{S_n+n}{2}=k)=P(S_n=2k-n)=P(S_n=k')=2^{-n} \displaystyle\binom{n}{\frac{n+k'}{2}} $

Par ailleurs, on a $k \in [|0,n|] \Leftrightarrow k' \in A_n$

Donc si $k' \notin A_n$ alors $k \notin [|0,n|]$ et donc $P(S_n =k')=0$ d'après la relation encadrée.

On a montré : $\boxed{\forall n \in \N \ \forall k \in \Z \ u_{n,k}=\begin{cases}
2^{-n} \displaystyle\binom{n}{\frac{n+k}{2}} \ \text{si} \ k \in A_n \\ 0 \ \text{sinon} \end{cases}}$

Personne n'a d'idées pour cette question ? :-(

D'accord merci, en effet j'étais têtu à vouloir utiliser la question précédente.

J'ai mis du temps à trouver le système complet d'évènement alors que c'était évident 8-)

Je prends le système complet d'évènement $\{X_{n+1}=-1 \}$ et $\{X_{n+1}=1 \}$ on obtient :

$P(S_{n+1}=k)= P( \{S_{n+1}=k \} \cap \{X_{n+1}=-1 \}) + P( \{S_{n+1}=k \} \cap \{X_{n+1}=1 \}) $

Donc par indépendance : $P(S_{n+1}=k)= P( \{S_{n}=k+1\} \cap \{X_{n+1}=-1 \}) + P( \{S_{n}=k-1\} \cap \{X_{n+1}=1 \}) \\
= P( \{S_{n}=k+1\}) P(\{X_{n+1}=-1 \})+ P( \{S_{n}=k-1\}) P( \{X_{n+1}=1 \}) \\
=\dfrac{1}{2} u_{n,k+1}+\dfrac{1}{2} u_{n,k-1}=u_{n+1,k}$

Je bute un peu sur la question 2)b).

Soit $x \in \R$ et $t \in \R^{+}$. On a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} F_n(x,t)= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k \leq [x \sqrt{n}]} P(S_{[nt]}=k)$

Je ne vois pas comment continuer.

Il y a la limite et la somme qui me dérangent.

On a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k \leq [x \sqrt{n}]} P(S_{[nt]}=k)=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k \leq [x \sqrt{n}]} P(S_{[nt]} \leq [x \sqrt{n}])$

On peut rentrer la limite dans la somme ? Et même en supposant qu'on puisse, je n'arrive pas au résultat.

Je n'ai pas compris ton explication comme souvent ça ne veut pas dire que c'est infaisable.

Ok merci je vois mon erreur, en effet j'ai écrit n'importe quoi.