Conditionnement

Ramufasa
Ramufasa
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

J'ai une petite question concernant mon cours de probas. Nous avons eu un chapitre sur la notion d'espérance conditionnelle. Nous l'avons définie comme une projection orthogonale dans le cas L2, puis nous l'avons étendue au cas L1, et nous avons plein de propriétés diverses et variées.

Dans un exercice, on a mené un calcul selon la démarche suivante :

- X, Y suivent des lois de Poisson. On a calculé la loi de X+Y. On a calculé P(X=k | X + Y = n). On obtient que la loi de X|X+Y=n est une binomiale de paramètres n et ...

- On en déduit que E[X|X+Y] est ...*(X+Y). En gros, on a juste remplacé n par X+Y.

Ma question porte justement sur ce lien entre loi conditionnelle et espérance conditionnelle. Sur wikipédia, ce lien est mentionné seulement pour les variables discrètes (comme dans mon exercice). S'agit-il d'un résultat général sur les espérances conditionnelles ou est-ce vrai seulement dans le cas discret ? Avez-vous une preuve de ce résultat (au moins pour les variables discrètes donc) ?

Merci d'avance !

Réponses

  • aléa
    aléa
    La vraie difficulté n'est pas le lien entre espérance conditionnelle et loi conditionnelle, mais de définir proprement la notion de loi conditionnelle.

    Dans le cas discret, commence par énoncer ce que tu appelles "ce résultat". Après, la preuve viendra assez naturellement.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Merci de ta réponse.

    Justement, je ne sais pas comment formuler "ce résultat". Ce que je recherche est justement un théorème ou du moins une formule justifiant le fait de simplement "remplacer n par X+Y" dans le calcul de l'espérance conditionnelle donné plus haut.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Du coup, je précise ma question :)

    Je me base sur l'article Wikipédia.

    On considère des variables aléatoires absolument continues.

    L'espérance conditionnelle de X par rapport à l'événement Y=y est donnée par : intégrale(x * f_{X|Y}(x,y)dx) = phi(y).

    L'espérance conditionnelle de X par rapport à Y est alors définie par phi(Y). Cela justifie le calcul qui a été fait dans mon exercice cité plus haut.

    Maintenant j'aimerais une démonstration de l'équivalence entre cette définition et la définition plus générale comme projection orthogonale dans le cas L2, ou comme unique variable aléatoire sigma(X)-mesurable et intégrable, telle que pour toute variable aléatoire U bornée et sigma(X)-mesurable, espérance(XU) = espérance(ZU), dans le cas L1.
  • aléa
    aléa
    Ca ne fait que déplacer le problème. C'est quoi donc, ce $f_{X|Y}$ ?

    Dans le cas discret, c'est un peu plus simple de donner un énoncé propre.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Ok.

    Dans le cas discret, si Y=y est de proba non nulle, on définit E[X|Y=y] = 1/P(Y=y)*E[X*ind(Y=y)] = phi(y). Ensuite, on définit E[X|Y] = phi(Y).

    Et ensuite ?
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