Fonction caractéristique

Pour le cas $\alpha\geq 2,$ utilise le fait suivant (qui se démontre en utilisant le lemme de Fatou) : $\frac{1}{2}\mathbb{E}[X^{2}]\leq \liminf\limits_{t\rightarrow 0} \frac{1-\mbox{Re}\big( \phi_{X}(t) \big)}{t^{2}}.$

Pour le cas $\alpha\leq2,$ ça m'étonnerait fort que tu n'aies pas d'indications sur ta feuille de TD.
Les variables aléatoires qui ont ce type de fonction caractéristique sont appelées des variables aléatoires $\alpha$-stables (le cas $\alpha=2$ correspond au cas des variables aléatoires gaussiennes).

Pour la 4, il suffit de choisir pour $\delta_i$ l'entier le plus proche de $\lambda_i$ (formule : $\lfloor \lambda_i+1/2\rfloor$ ; il y a une ambiguïté si $\lambda_i=1/2$ mais alors peu importe). On a alors $|\delta_i-\lambda_i|\le 1/2$ et on majore la distance avec le théorème de Pythagore.

Ah oui, je n'avais pas fait attention qu'il y avait (sans doute) plus de vecteurs que la dimension. Désolé.