Convergence ps et convergence en loi

JamesP · September 2020

Bonjour à tous,

Une suite de variables aléatoires ($X_n$) définies sur un même espace converge en loi vers $X$ que je suppose intégrable. A-t-on $\dfrac{X_n}{n}\rightarrow 0$ ps?
En utilisant la convergence uniforme des fonctions caractéristiques sur les compacts, je récupère la convergence en probabilité vers $0$, mais peut-on dire plus ?

Merci.

Chalk · September 2020

Non tu n'as pas forcément ce résultat.

En effet, tu peux prendre, comme les exemples classiques de bosse glissante, $X_n$ qui vaut $n$ sur un intervalle de taille $1/n$ (et $0$ ailleurs) que tu fais glisser entre $[0,1]$ (univers que tu munis de la mesure de Lebesgue et donc de masse $1$).

Alors clairement la suite $X_n/n$ ne converge (simplement) nulle part. Pourtant $X_n$ converge en probabilité (et donc en loi) vers $0$ (qui est bien intégrable).

JamesP · September 2020

Merci pour cette réponse claire et rapide!

Convergence ps et convergence en loi

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Bonjour!

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