Mesure extérieure et statistique
Salut.
Soit $\Omega=[0,1]^2,$ et soit $\mathcal{F}$ la famille de parties de la forme $\left\{(x,y)\mid x \in K,\ 0 \leq y \leq 1 \right\},$ pour $K \in \mathcal{B}([0,1])$ soit $P$ l'application prenant pour valeur $P(B)=\lambda(K)$. Prouver que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ est un espace probabilisé (en fait, on pourra remarquer que c'est la mesure image par $\lambda$ de la premiere projection).
Prouver que pour $K=\left\{(x,y)\mid 0 \leq x \leq 1,\ y=\frac{1}{2}\right\},\ $ $P_*(K)=0\ $ et $\ P^*(K)=1.$
Ce qui concerne la première question, c'est facile ! Pour la deuxième puisque $P^*(K)=\lambda^*([0,1])=1$ et que $P^*(K^c)=\lambda^*([0,1])=1,\ $ ($K^c=[0,1] \times ([0,1]\setminus\{\frac12\})$) alors $P_*(K)=1-1=0$.
Alors la question : est-ce qu'il y a une connexion entre ce résultat et la statistique ? Comment ?
Merci d'avance !
Soit $\Omega=[0,1]^2,$ et soit $\mathcal{F}$ la famille de parties de la forme $\left\{(x,y)\mid x \in K,\ 0 \leq y \leq 1 \right\},$ pour $K \in \mathcal{B}([0,1])$ soit $P$ l'application prenant pour valeur $P(B)=\lambda(K)$. Prouver que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ est un espace probabilisé (en fait, on pourra remarquer que c'est la mesure image par $\lambda$ de la premiere projection).
Prouver que pour $K=\left\{(x,y)\mid 0 \leq x \leq 1,\ y=\frac{1}{2}\right\},\ $ $P_*(K)=0\ $ et $\ P^*(K)=1.$
Ce qui concerne la première question, c'est facile ! Pour la deuxième puisque $P^*(K)=\lambda^*([0,1])=1$ et que $P^*(K^c)=\lambda^*([0,1])=1,\ $ ($K^c=[0,1] \times ([0,1]\setminus\{\frac12\})$) alors $P_*(K)=1-1=0$.
Alors la question : est-ce qu'il y a une connexion entre ce résultat et la statistique ? Comment ?
Merci d'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Et je ne comprends pas ta deuxième question, l'ensemble $K$ que tu décris n'est pas dans $\mathcal F$, et tu parles d'un $A$ non défini.
Comme on a dit $P$ est la mesure image de $\lambda$ par la première projection $\pi_1$, et puisque $\pi_1^{-1}(K)=[0,1]$ alors $P^*(K)=\lambda^*([0;1])=1.$
Y a-t-il une autre approche pour cela ?
En fait la définition de $p^*$ sur laquelle on traivaille est : $$P^*(K)=\inf\Big\{\sum_nP(X_n)\mid (X_n)_n \subset \mathcal{F},\ K \subset \bigcup_nX_n\Big\}. $$