Martingales et propriété de Markov

Fulgrim
Fulgrim
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous !

Je me demandais si, pour $M_t$ une martingale et $F_t$ sa filtration canonique :

A-t-on forcément $M_t-M_s$ indépendant de $F_s$ ?

C'est vrai pour le brownien, mais en général ?

Réponses

  • mehdi
    mehdi
    Bonjour,
    pas forcement.
    Sinon la martingale sera constante.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    Comment ça ?
    Le mouvement brownien n'est pas constant, mais il vérifie la propriété en question. Non ?
  • Calli
    Calli
    Bonjour,$\def\P{\Bbb P}$
    Moi non plus je ne comprends pas ce que dit mehdi.

    Soient $X$ une variable de Rademacher et $Y$ telle que $\P(Y=1\mid X=1)=\P( Y=-1\mid X=1)=\frac12$ et $\P(Y=0\mid X=-1)=1$. Donc $Y $ est une Rademacher si $X(\omega)=1$ et p.s. nulle sinon. Soit $$M_t=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{si } t<1\\
    X& \text{si } t\in[1,2[ \\
    X+Y &\text{si } t\geqslant 2 \end{array}\right.$$ C'est une martingale car $\Bbb E(X)=\Bbb E(Y\mid X=1)=\Bbb E(Y\mid X=-1)=0$. Et $M_2-M_1=Y$ n'est pas indépendant de $F_1=\sigma(X)$.
  • mehdi
    mehdi
    Désolé,
    J'ai fait une faute.

    L'essentiel est : la propriété est vraie lorsque la martingale est à accroissements ndépendants.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    OK je comprends mieux, merci pour le contre-exemple !
  • jeancreatif
    jeancreatif
    Ce problème m'interesse, mais je ne comprends pas l'énoncé.

    Quelqu'un pourrait il me dire ce que veut dire Ms ?

    Et m'expliquer ( de manière simple), la loi de Rademacher ? ( je ne suis pas sûr de bien comprendre Wilkipedia)

    Merci d'avance
  • Calli
    Calli
    jeancreatif :
    $M_s$ est une variable aléatoire qui fait partie d'une martingale $(M_t)$, i.e. une suite de v.a. vérifiant $(\forall s\leqslant t, \Bbb E[M_t \mid F_s]=M_s)$, pour $(F_t)$ une suite croissante donnée de tribus.
    Et une variable de Rademacher, c'est une v.a. qui vaut 1 avec proba $\frac12$ et -1 avec proba $\frac12$.
  • jeancreatif
    jeancreatif
    Merci Calli, c'est déjà plus clair pour moi.
    Je suppose que Ft comme Fs, sont des sous-parties de M.
    Ce qui est moins clair c'est la fonction cumulative : 
           ( 0    si k < -1
F(k) = (1/2   si -1<=k<1
       ( 1    si k >=1
  • Calli
    Calli
    Non, $F_t$ (ou $F_s$ c'est juste une question de notation) est une tribu sur l'espace $\Omega$ des issues.
  • Fulgrim
    Fulgrim
    Rebonjour,
    Je reviens sur la propriété de Markov, sous une forme un peu différente.
    Soit un espace probabilisé filtré $(\Omega, F, F_t, \mu)$.
    Ici je dis qu'un processus $X$ y est markovien homogène si et seulement si $X_t$ est mesurable par rapport à $F_t$ et
    $$E\big(f(X_{t+s})\mid F_t\big) = P_s\big(f(X_t)\big).
    $$ J'aurais aimé savoir si la loi du 0-1 de Blumenthal est vérifiée par $X$, et si $F_t^+ \subset F_t \cup N$ avec $F_t^+:=\bigcap_{s>t} F_s$ et $N$ la tribu des négligeables.
    Il me semble que la réponse est oui à ces deux questions, peut-être avec des hypothèses supplémentaires, mais je ne trouve des démonsrations que si $X$ est le brownien.
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