Variation totale et temps d’arrêt
Bonjour
Soit $(X_{t})$ un processus stochastique et $[a,b]\subset \mathbb{R}_{+}$
$T_{n}$ une suite croissante des temps d’arrêts tels que :
$$ a\leq T_{n}< T_{n+1} \leq b .
$$ Supposons que les v.a. $X_{T_{n}} $ sont bien définies.
Soit $ V(X)$ la variation totale de processus $(X_{t})$. A-t-on
$$
V(X)\geq \sum_{n\geq 1}|X_{T_{n+1}}-X_{T_{n}}|.
$$ Merci beaucoup.
Soit $(X_{t})$ un processus stochastique et $[a,b]\subset \mathbb{R}_{+}$
$T_{n}$ une suite croissante des temps d’arrêts tels que :
$$ a\leq T_{n}< T_{n+1} \leq b .
$$ Supposons que les v.a. $X_{T_{n}} $ sont bien définies.
Soit $ V(X)$ la variation totale de processus $(X_{t})$. A-t-on
$$
V(X)\geq \sum_{n\geq 1}|X_{T_{n+1}}-X_{T_{n}}|.
$$ Merci beaucoup.
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Réponses
\[
V(X) \geq \sum_{k=1}^n |X_{T_{k+1}}-X_{T_k}| \quad\text{ ?}
\]
1. On fait trajectoire par trajectoire, on trouve le résultat demandé p.s.
2. Si on remplace le processus $X$ par la fonction réelle f(t):= E(Xt). les espérances des Xt,
A-t-on le résultat reste correcte ?
1) Pour ta question
Pour w fixé Il existe s_1<...<s_n : tq T_i(w)=s_i
Puis considère la variation de trajectoire de ce processus le long de la partition s_1<...<s_n.
Oui ?