Résolution d'un problème de probabilité
Bonsoir tout le monde,
J'ai créé mon compte spécialement pour poster ce message, car je suis assez frustré de ne pas détecter où est le truc dans ce problème qui me prend la tête. Je précise que j'aime beaucoup les maths mais ne suis pas de formation mathématique.
Quatre amis jouent à un jeu dans lequel le but est de piocher le roi de coeur dans un jeu de quatre cartes. Chaque joueur pioche chacun son tour, et personne ne sait quelle carte a été piochée. La question est : quelle est la probabilité que le dernier joueur à piocher gagne la partie ?
Spontanément, sans raisonner ni réfléchir, j'aurais répondu 1 chance/4. Mais à y regarder de plus près, en décomposant une partie :
Au début de partie, lorsque le joueur 1 pioche, il a bien 1 chance /4 de tirer le roi de coeur, puisqu'il dispose des quatre cartes du jeu.
Lorsque le joueur 2 pioche, le jeu comporte donc 3 cartes. Deux cas de figure : soit le joueur 1 a pioché la carte gagnante, et dans ce cas, le joueur 2 n'a plus aucune chance de la piocher, il a donc 0 chance/3 ; soit le joueur 1 n'a pas pioché la carte gagnante et le joueur 2 a donc 1 chance/3 de gagner la partie.
De la même manière, lorsque le joueur 3 pioche, le jeu comporte 2 cartes. Et pour les mêmes raisons que le joueur 2, le joueur 3 a soit 1 chance/2 de gagner la partie, soit 0 chance/2.
Et enfin, on en déduit que le joueur 4, qui ne dispose plus que d'une carte, a soit 1 chance/1 de gagner la partie, soit 0 chance/1.
Je me doute que pour en arriver à cette conclusion, ce raisonnement comporte une inexactitude. Pourriez-vous m'aider à détecter cette inexactitude ?
Merci d'avance, je m'arrache la tête haha
J'ai créé mon compte spécialement pour poster ce message, car je suis assez frustré de ne pas détecter où est le truc dans ce problème qui me prend la tête. Je précise que j'aime beaucoup les maths mais ne suis pas de formation mathématique.
Quatre amis jouent à un jeu dans lequel le but est de piocher le roi de coeur dans un jeu de quatre cartes. Chaque joueur pioche chacun son tour, et personne ne sait quelle carte a été piochée. La question est : quelle est la probabilité que le dernier joueur à piocher gagne la partie ?
Spontanément, sans raisonner ni réfléchir, j'aurais répondu 1 chance/4. Mais à y regarder de plus près, en décomposant une partie :
Au début de partie, lorsque le joueur 1 pioche, il a bien 1 chance /4 de tirer le roi de coeur, puisqu'il dispose des quatre cartes du jeu.
Lorsque le joueur 2 pioche, le jeu comporte donc 3 cartes. Deux cas de figure : soit le joueur 1 a pioché la carte gagnante, et dans ce cas, le joueur 2 n'a plus aucune chance de la piocher, il a donc 0 chance/3 ; soit le joueur 1 n'a pas pioché la carte gagnante et le joueur 2 a donc 1 chance/3 de gagner la partie.
De la même manière, lorsque le joueur 3 pioche, le jeu comporte 2 cartes. Et pour les mêmes raisons que le joueur 2, le joueur 3 a soit 1 chance/2 de gagner la partie, soit 0 chance/2.
Et enfin, on en déduit que le joueur 4, qui ne dispose plus que d'une carte, a soit 1 chance/1 de gagner la partie, soit 0 chance/1.
Je me doute que pour en arriver à cette conclusion, ce raisonnement comporte une inexactitude. Pourriez-vous m'aider à détecter cette inexactitude ?
Merci d'avance, je m'arrache la tête haha
Réponses
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Le raisonnement est juste c'est l'interprétation des probabilités que tu obtiens qui est fausse.
Lorsque tu dis : "Lorsque le joueur 2 pioche, le jeu comporte donc 3 cartes. Deux cas de figure : soit le joueur 1 a pioché la carte gagnante, et dans ce cas, le joueur 2 n'a plus aucune chance de la piocher, il a donc 0 chance/3 ; soit le joueur 1 n'a pas pioché la carte gagnante et le joueur 2 a donc 1 chance/3 de gagner la partie."
C'est juste mais il faut comprendre que les probabilités que tu mentionnes sont des probabilités conditionnelles. Plus précisément : le joueur 2 a une chance sur 3 de gagner la partie sachant que le joueur 1 n'a pas pioché le roi.
Suppose que tu ne sais pas quelle carte a pioché le joueur 1 et que je te demande qu'elle est la probabilité que le joueur 2 gagne. Dans ce cas la réponse est... 1/4.
Idem pour le joueur 3. Il a une probabilité de gagner de 1/2 sachant que les deux premiers joueurs n'ont pas le roi. Si on n'a pas cette information alors la probabilité de gagner du joueur 3 est de... 1/4 aussi.
Enfin pour le dernier joueur, la probabilité de gagner sachant que les joueurs précédents n'ont pas le roi est de 1. Si on n'a pas cette information alors la probabilité de gagner du joueur 4 est de... 1/4 aussi.
Voici un lien Wikipedia qui explique la notion de probabilité conditionnelle https://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilité_conditionnelle -
Merci beaucoup raoul pour cette réponse qui permet de me "débloquer", et qui m'a fait remonter des souvenirs vagues des cours du lycée
Je savais qu'il y avait un truc mais je n'arrivais pas à mettre le doigt dessus :-D -
2rien.
Les probabilités conditionnelles peuvent être vicieuses.
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Bonjour!
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