Intégrale stochastique discrète et ...
Bonjour
Soit $(X_{t})_{t\in \mathbb{_{+}}}$ une sous-martingale positive et bornée dans $L^{1}$.
Soit $H_{t}, K_{t}$ des processus positifs et prévisibles par rapport à la filtration canonique de $X$.
Pour tout $t$ et toute subdivision $\pi:=(s_{1},\ldots,s_{n})$ de $[0,t].$ Posons
\begin{align*}
(H\bullet X)_{t}^{\pi}&:=\sum_{i}H_{s_{i-1}}(X_{s_{i}}-X_{s_{i-1}}) &\text{et}\\
(H\bullet X)_{t}&:=\sup_{\pi}\sum_{i}H_{s_{i-1}}(X_{s_{i}}-X_{s_{i-1}}).
\end{align*} 1. Le processus $((H\bullet X)_{t}^{\pi})$ est une sous-martingale.
2. Le processus $((H\bullet X)_{t})$ est une sous-martingale.
3. Si $H\geq K$, a-t-on
$$ \mathbb{E}\big[(H\bullet X)_{t}\big] \geq \mathbb{E}\big[(H\bullet X)_{t}\big] \quad?
$$ Je [sais] répondre aux questions 1 et 2.
Il reste 3.
Merci beaucoup pour l'aide.
Soit $(X_{t})_{t\in \mathbb{_{+}}}$ une sous-martingale positive et bornée dans $L^{1}$.
Soit $H_{t}, K_{t}$ des processus positifs et prévisibles par rapport à la filtration canonique de $X$.
Pour tout $t$ et toute subdivision $\pi:=(s_{1},\ldots,s_{n})$ de $[0,t].$ Posons
\begin{align*}
(H\bullet X)_{t}^{\pi}&:=\sum_{i}H_{s_{i-1}}(X_{s_{i}}-X_{s_{i-1}}) &\text{et}\\
(H\bullet X)_{t}&:=\sup_{\pi}\sum_{i}H_{s_{i-1}}(X_{s_{i}}-X_{s_{i-1}}).
\end{align*} 1. Le processus $((H\bullet X)_{t}^{\pi})$ est une sous-martingale.
2. Le processus $((H\bullet X)_{t})$ est une sous-martingale.
3. Si $H\geq K$, a-t-on
$$ \mathbb{E}\big[(H\bullet X)_{t}\big] \geq \mathbb{E}\big[(H\bullet X)_{t}\big] \quad?
$$ Je [sais] répondre aux questions 1 et 2.
Il reste 3.
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