Exercice loi uniforme sur $S^1$
Bonjour,
notre enseignant de probabilités nous a donné un petit exercice à faire pour nous amuser. Je note $S^1$ la sphère unité de $\R^2$. Soient $U_1$ et $U_2$ deux points jetés uniformément et indépendamment sur $S^1$. On découpe le cercle en les points $U_1$ et $U_2$ de façon à obtenir deux arcs de cercle. On souhaite connaître la probabilité que le point $(0,1)$ appartienne au plus grand arc de cercle. Cet exercice s'inscrit dans un cours de probabilités appliquées, aussi notre enseignant nous a fortement conseillé de modéliser la situation avec un programme. Voici ce que j'ai fait :
- $U_1$ reçoit une valeur prise uniformément dans $[0, 2\pi[$,
- il en est de même pour $U_2$,
- je calcule $|U_1 - U_2|$, si cette distance est plus grande que $\pi$, c'est que $(0,1)$ est sur le petit arc de cercle et inversement.
J'écris une fonction qui prend en paramètre un entier naturel $n$ (strictement positif) qui représente le nombre de fois où je vais simuler cette expérience, et avec une boucle je compte le nombre de fois où le point $(0,1)$ appartient au grand arc de cercle suivant le processus que j'ai décrit plus haut ; enfin, je retourne ce nombre divisé par $n$ qui doit (par la loi des grands nombres) converger vers la probabilité voulue.
Ce processus semble-t-il cohérent ? Je doute pas mal sur mon interprétation de la loi uniforme sur $S^1$ pour les variables $U_1$ et $U_2$... J'ai quand même essayé de coder tout ça avant de venir sur le forum, et je trouve une probabilité qui semble converger vers $p = 3/4$ ce qui me semble peu intuitif... quelqu'un pourrait me corriger s'il-vous-plaît ?
Merci.
notre enseignant de probabilités nous a donné un petit exercice à faire pour nous amuser. Je note $S^1$ la sphère unité de $\R^2$. Soient $U_1$ et $U_2$ deux points jetés uniformément et indépendamment sur $S^1$. On découpe le cercle en les points $U_1$ et $U_2$ de façon à obtenir deux arcs de cercle. On souhaite connaître la probabilité que le point $(0,1)$ appartienne au plus grand arc de cercle. Cet exercice s'inscrit dans un cours de probabilités appliquées, aussi notre enseignant nous a fortement conseillé de modéliser la situation avec un programme. Voici ce que j'ai fait :
- $U_1$ reçoit une valeur prise uniformément dans $[0, 2\pi[$,
- il en est de même pour $U_2$,
- je calcule $|U_1 - U_2|$, si cette distance est plus grande que $\pi$, c'est que $(0,1)$ est sur le petit arc de cercle et inversement.
J'écris une fonction qui prend en paramètre un entier naturel $n$ (strictement positif) qui représente le nombre de fois où je vais simuler cette expérience, et avec une boucle je compte le nombre de fois où le point $(0,1)$ appartient au grand arc de cercle suivant le processus que j'ai décrit plus haut ; enfin, je retourne ce nombre divisé par $n$ qui doit (par la loi des grands nombres) converger vers la probabilité voulue.
Ce processus semble-t-il cohérent ? Je doute pas mal sur mon interprétation de la loi uniforme sur $S^1$ pour les variables $U_1$ et $U_2$... J'ai quand même essayé de coder tout ça avant de venir sur le forum, et je trouve une probabilité qui semble converger vers $p = 3/4$ ce qui me semble peu intuitif... quelqu'un pourrait me corriger s'il-vous-plaît ?
Merci.
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Réponses
Si $U_1=0,1$ et $U_2=3$ comment cela se passe-t-il ?
Cordialement.
NB : le tirage des points ne me pose pas problème; pour tout arc du cercle, la probabilité qu'un point y atterrisse est proportionnelle à sa longueur.
Dans ce cas, la distance égale à $2,9$ est inférieure à $\pi$, c'est donc que $(0,1)$ est sur le grand arc de cercle comme GeoGebra le montre.
Est-ce que je me trompe ? (j'ai peut-être mal interprété vos dires)
$(U_1,U_2)$ suit la loi uniforme sur un carré et alors, la probabilité cherchée s'exprime assez facilement comme une probabilité géométrique (le quotient de l'aire de deux carrés plus deux triangles par l'aire d'un carré).
aléa : Merci beaucoup. La solution est élégante et je tombe bien sur la probabilité voulue (pour prouver que je ne triche pas, on calcule l'aire de la bande délimitée par les droites $y = \pi - x$ et $y = -(\pi+x)$ intersectée avec le carré centré en $(0,0)$ et de côté $2\pi$).
Je vous remercie tous, j'ai même deux preuves du résultat, je ne pouvais espérer mieux.
Passez une bonne soirée et une bonne nuit tout le monde.