Autre exercice processus de Galton Watson

Mes problèmes sont les suivants :
C'est la question 1, le calcul de $ V(X_{n+1}) $ en fonction de $E(X_{n}^{2})$ et de $\sigma ^{2}$

Et la question 3 Juste le cas ou m=1. La récurrence au rang n+1 je trouve juste.

Je tourne en rond sérieux. Je vois pas du tout ce que je dois faire. Je veux pas profiter de vous mais juste comprendre. Merci.
Then : $V(X_{n+1})$ =
$\sum\limits_{i=1}^{n} [E[Z_{n+1,i}^{2}]-(E[Z_{n+1,i}])^{2}] \mathbf{1}_{\{X_{n}=n\}}$ \\
= $\sum\limits_{k=0}^{+ \infty} $ [$\sum\limits_{i=1}^{n} E[Z_{n+1,i}^{2}]\mathbf{1}_{\{X_{n}=n\}} - \sum\limits_{i=1}^{n}(E[Z_{n+1,i}])^{2} \mathbf{1}_{\{X_{n}=n\}}$] \\

By spliting into two parts the sum inside the sum.

= $\sum\limits_{k=0}^{+ \infty} $ [$\sum\limits_{i=1}^{n} E[Z_{n+1,i}^{2}]P(X_{n}=n) - \sum\limits_{i=1}^{n}(E[Z_{n+1,i}])^{2} P(X_{n}=n)$]

Indeed we can multiply by the probability $P(X_{n}=n)$ instead of using $\mathbf{1}_{\{X_{n}=n\}}$.

= $\sum\limits_{k=0}^{+ \infty} $ [$\sum\limits_{i=1}^{n} [V(Z_{n+1,i}) + E(Z_{n+1,i})^{2}]P(X_{n}=n) - \sum\limits_{i=1}^{n}(E[Z_{n+1,i}])^{2} P(X_{n}=n)$]


=$\sum\limits_{k=0}^{+ \infty}$[$\sum\limits_{i=1}^{n} [ \sigma^{2} + m^{2}]P(X_{n}=n)-\sum\limits_{i=1}^{n} E[Z_{n+1,i}^{2}]-V(Z_{n+1,i}) P(X_{n}=n)$]
\end{footnotesize}