Espérance positive ?
Réponses
-
Je n'ai vu des discussions pareilles que dans Monty Python.
-
Salut P.
un excès de suffisance?
autre? -
Effectivement, P.
J'ai failli laisser tomber plusieurs fois, mais de temps en temps, il y a un éclair de compréhension qui me fait continuer encore.
Cordialement. -
Tu sais P. Je suis pianiste, et bien le genre de réaction, comme la tienne, je ne l'ai jamais vu chez un grand pianiste lorsqu'il enseigne, mais uniquement chez des professeurs de conservatoires insignifiants. En fait, c'est un ronron conformiste, c'est pourtant l'audace qui fait avancer la science, même si les questions paraissent étranges.
-
Un joueur joue à Pile ou Face. Il note méthodologiquement les résultats des lancers.
Au bout de 100 lancers, il a obtenu 45 Piles et 55 Faces.
Il invoque la Loi des Grands Nombres, et se dit : conformément à la LGN, l'écart devrait diminuer.
Il fait 100 lancers supplémentaires, et il a maintenant 93 Piles et 107 Faces.
Que doit conclure notre joueur ?
Réponse A : l'écart à augmenté (l'écart est passé de 10 à 14)
Réponse B : l'écart a diminué : Pile était 10% en-dessous de la valeur théorique, et est maintenant 7% en-dessous de la valeur théorique.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Salut jeancreatif,
il est toujours difficile de répondre à des gens que l'on ne connait pas,
élève ou autodidacte qui reprend les maths,
pré-requis connus comme ils disent,
on ne sait rien.
alors c'est vrai que tu sembles bloqué sur des trucs alors que avancé sur d'autres,
tout ceci n'est pas facile.
Mais certaines réponses sont tout aussi surprenantes,
comme si on dérangeait les grands personnages sérieux.
C'est vrai que le choix de scinder le forum par thème et pas par niveau d'étude, ben forcément cela fait se mélanger des fils de discussion de difficultés variables.
Mais personne n'est obligé de répondre.
Bon, certains trouve que cela salit le site probablement.
ah Guillels, Serkin, Arrau, Brendel, Pollini, Perrahia, Pires, et tous les autres ... -
Je peux te rassurer, P. n'a jamais ce genre de réaction "quand il enseigne".Jeancreatif a écrit:Tu sais P. Je suis pianiste, et bien le genre de réaction, comme la tienne, je ne l'ai jamais vu chez un grand pianiste lorsqu'il enseigne
Par contre, quelle est la réaction de tes grands pianistes quand ils entendent massacrer la "lettre à Élise", puis du Chopin par le voisin qui pianote et continue de faire n'importe quoi, alors qu'il a des voisins pianistes.
Tu es pianiste, pas mathématicien, aies autant d'humilité par rapport à des matheux que j'en ai par rapport à des pianistes (J'en ai fréquenté).
Pour ma part, j'ai squeezé une partie des discussions pour ne tenir compte que de ce que tu écris (*). Je suis un peu déçu, car je n'ai pas vraiment eu de conclusion de ta part sur la première question que tu posais (pourtant résolue dès le début, même si j'avais mal compris ensuite). Et par ton avant dernier message, très confus.
Cordialement.
(*) Et des messages de P., hypercompétent. -
Beagle,je vois que tu as de bonnes fréquentations pianistiques:-) Bravo.
Je suis passé voir ton papier à propos de Netflix, je n'ai pas compris où se trouvent ces résultats extraordinaires dont tu parlais... -
Gerard0, est ce ceci qui est confus, ou pertinent? :
" En te relisant, j'espère avoir compris... Tu veux dire que n=40, 60 etc... est la suite des 20 premiers tirages avec les 18 contre 2. -
salut jeancreatif,
désolé pour tous ceux que je n 'ai pas nommé, ils sont nombreux.
Pour les series de pile ou face
je n'ai pas donné les résultats,
j'ai programmé sur excel de pouvoir répéter l'expérience des centaines de fois,
et je n'ai pas encore pris le temps d'étudier comment rapatrier les données
un jour quand j'aurai le temps.
Mais sur le principe c'est marrant, tu regardes juste le nombre de pile ou de face ou le F-P
et avec cela tu selectionnes ce que tu veux,pour démontrer qu'on gagne à jouer le retard ou qu'on gagne à jouer l'avance.
Bon cela reste petit joueur on fait a postériori d'une indication,
mais c'est tant mieux pour moi si le faisais avant je serais exclu de ce site ah ah ah ... -
Beagle, Gerard0 va s arracher les cheveux.... De plus je vais démontrer ici ( pour montrer que j'essaye d avancer ) qu' apres 15 pile successifs,
Le 16 ème a toujours une proba de 0,5. -
Non les gens comme Gerard0 diraient que c'est trivial,
mais bon le fil de discussion est fermé... -
Lourran, ma réponse est que la situation est la même dans les deux cas, car à chaque fois, le résultat est à
1 écart type de la moyenne. -
Je ne sais pas si le résultat est à 1 Ecart-type de la moyenne, ce n'était pas volontaire.
La LGN dit que la PROPORTION de Piles va se rapprocher de 0.5 quand on fait de plus en plus de tirages. Elle ne parle que de proportion.
Et surtout, elle parle de comportement pour un nombre 'très grand' de tirage.
Ta démonstration du fait que la probabilité d'obtenir Pile au 16ème tirage est de 0.5 est fausse. Ou en tout cas, elle n'a pas lieu d'être.
Tu as une hypothèse de départ, qui est déjà que la probabilité d'obtenir Pile au16ème tirage est de 0.5. Cette probabilité vaut 0.5 à chaque tirage, donc en particulier au 16ème tirage. C'est l'hypothèse de départ. Donc c'est un fait acquis.
Connaissant ce résultat, on en déduit que P(15 piles consécutifs) = ... et P(16 piles consécutifs) = ...
Mais ces 2 résultats sont connus, parce que on a fait l'hypothèse que la probabilité d'obtenir Pile à chaque lancer et en particulier au 16ème était 0.5. Et non l'inverse.
Donc ce que tu as fait, ça revient à dire : Supposons P Vraie, faisons 2 calculs bidons, et hop, quand on suppose que P est vraie, alors on obtient que P est vraie.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Jeancreatif,
dans ce message, tu utilises la conclusion pour prouver la conclusion (la proba d'avoir pile au seizième lancer est 0,5). En effet, c'est le fait qu'à chaque tirage la proba d'avoir pile est 0,5 qui justifie ton 0,5^16. Que tu n'as d'ailleurs pas justifié !
En fait, il n'y a aucune preuve mathématique que quand on joue à pile ou face, on a à chaque lancer une chance sur 2 de faire pile, une chance sur 2 de faire face : Les mathématiques ne prouvent rien sur la réalité, elles parles d'objets abstraits (je n'ai jamais rencontré le nombre 3, ailleurs que dans les maths ou leur utilisation. Cette supposition (*) est simplement un modèle de ce qui se passe, modèle suffisamment efficace pour qu'on s'en soit servi (avec des pièces spéciales) pour simuler des nombres aléatoires (tables de la Rand).
"est ce ceci qui est confus, ou pertinent? " Inutile d'y revenir, tu n'avais pas compris. Mais essaie de prendre le temps de bien dire.
Cordialement.
NB : Évite de prendre conseil auprès de gens qui ne connaissent pas vraiment le sujet, et se permettent pourtant d'interpréter ce que je te dis, voire de parler à ma place. C'est ce qui a provoqué la remarque de P. -
Gerard0, nies-tu que l'on peut utiliser la formule de Bayes pour démontrer qu'une loi géométrique est "sans mémoire", et que comme par hasard
0,5k+1 / 0,5k = 0,5 ?
Ensuite, je ne comprends pas ta pédagogie. Tu me demandes pourquoi je me suis arrêté ici ou là. Puis lorsque je te propose un résultat, tu me tournes le dos... (les 2 boules noires). Ton résultat ne me semble pas correspondre à la méthode de Sylviel. Soit vos résultats correspondent, soit sa méthode n'est pas bonne, soit je me trompe dans les calculs... -
Jeancreatif fais attention aux prétentieux experts qui dénigrent.
Tu peux avoir une série de pile ou face avec probabilités égales de sortie des pile ou face, mais où les évènements ne seraient pas indépendants, alors proba après k faces n'est plus 1/2, mais bien proba sachant le déjà sorti.
Donc dire probas toujours constantes au long de la série
est égal a dire indépendance des tirages,
donc on a bien proba A sachant tirages antérieurs = proba a sachant rien = proba de A
avec Gerard, comme avec P., ils restent sur la définition la proba est la même.
C'est vrai.
mais cela n'explique rien lorsqu'intervient une intuition qui te dit qu'un sachant que pourrait modifier la donne.
Jeancreatif écoute ton cœur... -
Beagle, c'est un malentendu.
La formule de Bayes confirme au contraire , que les évènements sont indépendants. C'est un paradoxe, mais c'est la réalité.
La dépendance, c'est simplement que si X > 15, alors X est forcément > 14. L'évènement X>15 est inclus dans X> 14.
L'intersection des deux, c'est simplement X>15.
C'est pourquoi ma démonstration ( peut être incomplète) était bonne, malgré ce que peut en dire Lourran. -
Jeancreatif
J’ai seulement trois questions à poser:
’’Un parieur observe le tirage d'une boule noire dans un jeu avec remise.’’ Est-ce que ce ’’avec remise’’ signifie indépendance des tirages?
’’La probabilité de sortie de la boule noire est de 0,25.’’ Est-ce que le ’’à chaque tirage’’ est sous-entendu ici?
’’On ne joue pas, mais observe le jeu’’ . Mais de quel jeu on parle exactement? -
Bon, Jeancreatif,
j'ai suffisamment essayé de t'aider, tu continues à manipuler des règles élaborées (loi binomiale, loi géométrique) sans accepter de revenir aux bases des probas, ça ne sert à rien.
Cherche un autre pigeon. Ou continue à parler dans le vide ... -
Gerard0, tu as raison. Tu me fais perdre mon temps, et moi le tien. Inconsciemment tu ne veux pas aider. C'est TOUJOURS la faute du professeur. On peut et doit aller pas à pas, quand il y a un problème.
-
Biely, je me mords les doigts de ne pas avoir rédigé un énoncé parfait.
C'est pourquoi un énoncé avec des mots est toujours plus difficile qu'un énoncé mathématique.
Les tirages sont avec remise, donc à chaque tirage, la proba est de 0,25.
Il y a 5 tirages, les 2 premiers ne peuvent être utilisés, puisqu'il faut attendre 2 boules noires pour commencer à jouer.
Mais parfois, il faut attendre le 5eme tirage pour pouvoir parier, exemple :
1
0
0
1
Ici, la seconde boule noire n’apparaît qu'au 4ème coup. -
"On ne peut pas faire boire un âne qui n'a pas soif"
Biely, bon courage !! -
J’abandonne aussi! :-D
-
Moi, je n'abandonne pas.
Relis ces 2 messages 1 et 2
Ces 2 messages ont été postés à quelques minutes d'écart. L'idée développée dans ces 2 messages est exactement la même, mais c'est dit avec des mots différents.
Si en les relisant, tu n'es toujours pas convaincu, voici une 3ème version, avec d'autres mots.
On a une pièce de monnaie qui a une propriété particulière, elle est équilibrée.
En d'autres mots, à chaque lancer, elle a une probabilité 50% de donner Pile, et également une probabilité 50% de donner Face. A chaque lancer, au 16ème lancer, comme à n'importe quel lancer.
Grâce à cette probabilité particulière, on a le droit d'utiliser les lois normales, les lois binomiales, toutes ces lois connues. La loi binomiale, on a le droit de l'utiliser uniquement quand on sait que la probabilité d'avoir Pile au 16ème lancer est de 50%. Si on ne connaît pas cette probabilité d'obtenir Pile au 16ème lancer, alors on n'a pas le droit d'utiliser les résultats de la loi binomiale. C'est marqué noir sur blanc dans l'énoncé de la loi binomiale : La loi binomiale donne des formules de calcul qu'on peut appliquer quand ? Quand on a une succession de n épreuves de Bernoulli qui ont toutes le même paramètre p.
Si nos n épreuves de Bernoulli n'ont pas toutes le même paramètre p, la formule de calcul que tu utilises n'est pas applicable.
Si nos n épreuves de Bernoulli ont des paramètres inconnus, la formule de calcul que tu utilises n'est pas applicable.
La formule de calcul que tu utilises n'est applicable que parce que tu sais à l'avance que la probabilité d'obtenir Pile au 16ème lancer est de 50%
Si ce n'est toujours pas clair, on peut tenter une autre approche. Mais ça va être chaud.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Biely, alors là c'est du mimétisme de bas niveau, ton comportement. Je prends la peine de te répéter, alors que cela a été fait 10 fois, l'énoncé du problème et tu abandonnes??
Mais je ne t'ai rien demandé! -
Jeancreatif
Je ne vois pas à quel moment tu m’as répété 10 fois l’énoncé...Je ne te demandais pas de répéter ton énoncé je te demandais des précisions sur cet énoncé. Il faudra m’expliquer comment on peut observer un jeu qui n’a toujours pas commencé...m’enfin bref, je finis mon apéro...
Bonne soirée. -
Lourran, laisse la loi Binomiale, et regardons le même problème avec la loi géométrique.
(Je te rappelle que la seule différence avec la Binomiale, c'est que l'on ne connait pas n.
C'est aussi une épreuve de Bernoulli.)
Soit X une variable aléatoire, qui suit une loi géométrique de paramètre p avec 0<p<1 et n un entier naturel.
Posons que P(X>n) = ( 1-p)n
Alors, on peut en déduire que pour tout entier k , P(X>n) P(X>n+k) = P(X>k).
Nous allons utiliser la formule de Bayes pour le démontrer.
P b (A) = P(A interB) /P(B)
Donc (P ( X> n+k) inter P(X>n))/ P(X>n)
L'évènement P( X> n+k est inclus dans P(X>n)
Donc on ne garde que l'intersection des deux
P(X>n+k)/ P(X>n)
nous avions posé que P(X>n)= ( 1-p)n
donc remplaçons les formules
( 1-p)n+k / ( 1-p)n
On simplifie
Cette division nous donne
( 1-p)k = P(X>k)
donnons des valeurs à n et k
Exemple pour le " pile ou face"
P(X>14 (X>16) = P(X>2)
Lourran, j'espère que nous sommes d'accord, car cette démonstration est rigoureuse. -
Biely j'ai entièrement reformulé l'énoncé pour lever toute ambiguité.
-
Tout ce que j'écrivais dans mon précédent message reste 100% d'actualité.
Dans quel cas a-t-on le droit d'utiliser une loi géométrique ? Quand la probabilité d'obenir Pile est la même à chaque tirage, et qu'on connaît cette probabilité.
En d'autres mots, le prérequis pour utiliser la loi géométrique, c'est de savoir à l'avance que la probabilité d'obtenir Pile au 16ème tirage est 50%.
Résumons ce que tu dis :
Je sais que la probabilité d'obtenir Pile au 16ème tirage est de 50%, et je sais aussi que cette probabilité est de 50% à chaque tirage.
Comme je sais ça, je peux utiliser la loi géométrique. C'est uniquement parce que je sais que la probabilité d'obtenir Pile au 16° tirage est de 50% que je peux utiliser cette loi géométrique.
Et grâce à cette loi, si je sais au départ que la probabilité de tirer Pile au 16ème tirage est de 50%, alors je peux démontrer que la probabilité de tirer Pile au 16ème tirage est de 50%.
Je ne déforme pas ce que tu dis. C'est ça que tu dis. Rien d'autre.
En fait tu ne dis pas tout à fait ça, parce qu'il y a des erreurs d'étourderie dans ton calcul, mais c'est encore un autre débat. Par exemple, la conclusion, P(X>15|X>16) .... si on sait que X est supérieur à 16, alors X est certainement supérieur à 15. Donc P(X>15|X>16), ça vaut 1.
Alors que P(X>16|X>15), ce serait plus dans le sujet.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Lourran, tu dis n'importe quoi.... Car Il n'est pas question de 50% ni d'aucun pourcentage dans la Loi géométrique.
On parle de paramètre P dans cette Loi. A aucun moment, je ne parle de 50%...
Relis et essaye de comprendre. -
On ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif.
Donc je devrais probablement abandonner.
J'ai mis des 50% Partout, parce que c'est 'simple'. Remplace ces 50% par p si tu veux, ça donnera un raisonnement plus 'général', mais attention, il faut bien garder à l'esprit que ce p n'est pas une inconnue. Il faut donc ajouter en tout début de texte : soit p un réel entre 0 et 1. ...
On va faire un parallèle avec un autre domaine.
Dans le plan, on a défini les quadrilatères. Puis on a défini les losanges. Puis on a défini les carrés.
Les losanges forment un sous-ensemble des quadrilatères, et les carrés forment un sous-ensemble des losanges.
[large]Quand un quadrilatère vérifie telle et telle propriété, on lui donne un nom particulier, c'est un carré. Les propriétés en question sont les conditions nécessaires mais aussi suffisantes pour qu'on parle de carré.[/large]
Si on demande à un lycéen de démontrer que dans un carré, les 4 côtés ont la même longueur, l'élève comme toi va enchainer quelques lignes de pseudo-calculs, des tautologies, et il va conclure que les 4 côtés d'un carré ont la même longueur. Il va peut-être même ajouter la phrase magique : CQFD.
Le bon élève va être plus direct : par définition, dans un carré, les 4 côtés ont la même longueur. Il n'y a pas de débat, le résultat demandé est donné par la définition.
Dans le cadre de la loi géométrique, c'est pareil.
Dans la phrase écrite en caractères 'larges', remplace le mot quadrilatère par processus, remplace le mot carré par loi géométrique.
La propriété P(X>16|X>15)= P(X>1), elle n'est pas obtenue par des calculs à partir de la définition de la loi géométrique. Elle est dans la définition de la loi géométrique.
Le calcul que tu fais, si tu le fais sans donner le tître 'loi géométrique', ce calcul est correct.
Si tu dis : Soit un événement qui suit une loi géométrique, alors tout ton calcul devient inutile, et donc superflu, et donc problématique. Si tu te places dans le contexte de loi géométrique, alors par définition (et pas par un calcul quelconque), P(X>16|X>15)=P(X>1)
On a des processus qui vérifient certaines propriétés. Quand un processus vérifie un certain nombre de propriétés (quand un quadrilatère vérifie un certain nombre de propriTu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
salut jeancreatif,
rentre dans le lard des prétentieux suffisants,
mais reste sympa avec ceux qui sont sympas dans ce fil.
Tu as en effet démontré à un moment que si la proba était constante pour tous les tirages, alors on aurait la meme si ...
C'est pas toujours apprécié, mais pas grave.
Ce que tu démontrais avec le sachant que c'est que si meme proba pour tous les tirages alors indépendance.
ça c'est vrai que tu as montré ça.
Pourquoi utiliser le sachant que alors que par définition on sait que la proba ne change pas.
ben parce que déjà tu évoquais la différence de proba entre un évènement de k tirages et proba de k iem sachant les précedents.
C'est bien des probas conditionnelles.
Ensuite les cadors du site doivent etre bien éloignés des débutants puisqu'il ne comprennent pas la naturelle erreur de penser que si on joue regulièrment derriere une floppée de face on augmente ses chances de sortie de pile.Cette erreur vient d'une mauvaise compréhension de l'infini, donc c'est normal que les débutants soient confrontés à ce dilemme qui les place en conflit avec le fameux oui mais c'est proba constante.
Sinon pour les calculs , il n' y a pas tant de cas que cela, donc balance depuis le début ce que tu calcules avec tes propres calculs. -
Lourran, garde ta personnalité, au lieu de répéter comme un perroquet ce que dit Gerard0.
Mais tu as raison sur deux points, ( erreurs de fatigue hier soir):
Je n'avais pas précisé que p était compris entre 0 et 1.
Exemple pour "pile ou face" :
C'est P(X>14 ( X>16)= P(X>2) qui est correct.
J'ai tout corrigé dans la démonstration -
En fait Beagle, si on considère et visualise la sortie des variables comme des points resserrés comme ceci
. ... ...... sorties très fréquentes, plus loin on peut observer . ..
C'est à dire un grand vide, qui n'est qu'une compensation des très nombreuses sorties du début.
Maintenant je garderai cela à l esprit: Ne pas être troublé par une fréquence double ou triple de la moyenne, car plus loin on peut observer
l'inverse. -
JeanCreatif, je ne répète pas comme un perroquet ce que dit untel ou untel.
Tu noteras que dans les 2 messages que je te donnais en référence, mon message a été posté avant celui de Gerard0.
Par ailleurs, modifier un message 'passé' est toujours problématique.
J'apporte des réponses à tel ou tel point,
Puis tu modifies ton message. (En l'occurrence en remplaçant une erreur d'étourderie par un truc qui est franchement faux mais ce n'est pas le débat)
Imagine un type qui lit la discussion maintenant, et qui voudrait t'aider. Il est totalement paumé, il considère que je suis fou, parce que mes commentaires n'ont rien à voir avec ton message.
On veut t'aider, et on se fait traiter de perroquet. C'est ça, toute l'estime que tu portes aux gens qui t'aident ?
Reste avec tes certitudes.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
lourran, tu as toujours été sympa, et on a beaucoup échangé il y a un an dans d'autres files.
Je ne voulais pas t'offenser, et je pensais que tu copiais Gerard0. Mais la comparaison avec un âne n'est pas des plus flatteuses, non? :-)
Maintenant si tu considères que ma conclusion est " un truc franchement faux", alors je demande à d'autres intervenants ici de me le confirmer et de me le prouver. La fin n'est qu'un exemple de toute la démonstration.
Voilà la démonstration d'un prof de maths, qui est la même que la mienne ( avec des lettres différentes)
-
juste sur tes points,
nul besoin de compensation pour loides grands nombres.
La compensation comme tu le montres permettrait de jouer le retard.
C'est n'importe quel hasard qui va arriver apres un déséquilibre quelconque.
Bref cela permet de comprendre le caractère complètement anhistorique .
si apres 1000 pile face excès de pile important,
alors sur les 10 séries 1000 à venir, tu aurais moitié moitié de exces de pile ou exces de face
et les exces de pile qui iraient dans le "mauvais sens " initial, ben tu as pleind'exces de pile qui seront moins important si le désequilibre était important.
Bref la frequence empirique va vers les probas théoriques en s'accomodant de tout hasard apres un premier déséquilibre. -
Beagle, je ne parle même pas de compensation. Je veux juste dire qu'il est inutile d'être impressionné parce que sur une période
le taux de réussite est très au dessus de la moyenne, car à d'autres endroits, ce sera tout le contraire. C'est donc un processus naturel,
qui, de manière très complexe, va se réguler au fil des tirages. -
oui, ce n'est pas une égalisation , une compensation
c'est juste en laissant le hasard faire son oeuvre, sans avoir a tenir compte du passé,
lorsque loi binomiale, le frequent est pres de la moyenne le tres décalé est rare
et cela suffit -
azertyuiop
-
C'est pas être prétentieux de dire que je ne comprends pas.
Tu as surement des choses à nous apprendre.
Par exemple ta phrase "lorsque loi binomiale, le frequent est pres de la moyenne le tres décalé est rare"
Je n'arrive pas à me l'expliquer. Alors je demande simplement à quelqu'un qui en sait plus que moi sur la probabilité de m'expliquer. -
Bonjour,
Je ne fais que passer et je n'ai rien compris non plus, mais ce n'est pas grave, ne vous occupez pas de moi.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir,
Ou il fait semblant.
Cordialement,
Rescassol -
Bon comme je ne comprends rien je vais regarder le foot.
Il y a de l'aléatoire aussi dans ce sport. -
Quand les questions sont précises on peut essayer de répondre.
Mème si c'est assez complexe faut reconnaitre:
"lorsque loi binomiale, le frequent est pres de la moyenne"
on va le faire avec loi normale et courbe de Gauss.
Prenons la taille des humains ,
si la taille moyenne des hommes est 175cm,
on dira que les tailles les plus frequentes sont près de 175 cm.
Lorsque je parle de 10 séries de 1000 tirages pile face pour regarder si retard ou avance de pile ou face,
les résultats obtenus seront les plus fréquents vers la moyenne théorique.
sur le décalé est rare , on attendra de voir si ça suit derrière,
vu la mauvaise volonté...
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