Urne
Bonsoir,
Un petit exercice que j'ai trouvé dans un sujet de partiel de mathématiques niveau L2.
Mes propositions de réponses !
Question 1.a :
$(X_i=1)= \displaystyle\bigcap_{k=1}^n \overline{U_{i,k}}$
Le choix des urnes est indépendant donc $P(X_i=1) = P(\displaystyle\bigcap_{k=1}^n \overline{U_{i,k}}) = \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-P( U_{i,k} ) )= \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{n}) = \boxed{(1-\dfrac{1}{n})^n}$
Je bloque à la question 1.b.
Un petit exercice que j'ai trouvé dans un sujet de partiel de mathématiques niveau L2.
Mes propositions de réponses !
Question 1.a :
$(X_i=1)= \displaystyle\bigcap_{k=1}^n \overline{U_{i,k}}$
Le choix des urnes est indépendant donc $P(X_i=1) = P(\displaystyle\bigcap_{k=1}^n \overline{U_{i,k}}) = \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-P( U_{i,k} ) )= \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{n}) = \boxed{(1-\dfrac{1}{n})^n}$
Je bloque à la question 1.b.
Réponses
-
Bonjour
Pour la question b) $[(X_i=1) \cap (X_j=1)] =\cap _{k=1}^n (U_{i,k} \cap U_{j,k}) $
+ indépendance -
D'accord merci.
On trouve $P((X_i=1) \cap (X_k)=1)= (1-\dfrac{1}{n})^{2n}=P(X_i=1) P(X_j=1)$ donc il y a indépendance des variables $X_i$ et $X_j$.
Pour la suite, je trouve :
$E(Y_n)=n(1-\dfrac{1}{n})^n$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{E(Y_n)}{n}= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (1-\dfrac{1}{n})^{n}=\dfrac{1}{e}$ en utilisant un DL.
Donc $E(Y_n) \sim \dfrac{n}{e}$
Est-ce correct ? Il y a une suite à l'exercice mais j'aimerais savoir si ce que j'ai écrit est juste. -
Attends tu vas vite. Tu n'a pas compris où je place l'indépendance. Ta première ligne me semble fausse donc.
D'ailleurs j'ai oublié de mettre des barres sur les $U_{j,k}. $ -
Je te dis de revoir mon indication.
Perso n'ayant pas de stylo et de papier je n'ai pas lar éponse mais je penche pour dire que les 2évènements sont dépendants. -
Je n'ai pas tout compris mais :
$(X_i=1) \cap (X_j=1)= \displaystyle\bigcap_{k=1}^n \left( \overline{U_{i,k}} \cap \overline{U_{j,k}} \right)$
$U_{i,k}$ et $U_{j,k}$ sont indépendants donc $\overline{U_{i,k}}$ et $\overline{U_{j,k}}$ aussi. -
Non justement ils ne sont pas indépendants. En effet la l'urne i est tiré à la k-ième épreuve la j-ème ne peut pas être tirée.
-
Ah oui c'est vrai.
Sinon $P((X_i=1) \cap (X_j=1))= \dfrac{P( (X_i=1) | (X_j=1))}{P(X_i=1)}$
Mais je n'arrive pas à calculer $P( (X_i=1) | (X_j=1))$ -
Mais tu bifurques à chaque fois.
Je te donne une écriture de l'événement dont on doit calculer la proba à exploiter. Tu fais une erreur que tu ne cherche pas à corriger et tu passes à autre chose.
Ce que je dis c'est que
$$
\big[(X_i=1) \cap (X_j=1)\big]= \bigcap\nolimits_{k=1}^n (
\overline{U_{i,k}} \cap \overline{U_{j,k}} ).
$$ Alors commence par calculer $ p(\overline{U_{i,k}} \cap \overline{U_{j,k}} )) $ lorsque $i\neq j.$ -
OOShine, il y a des erreurs acceptables, et d'autrs pas. Ici, il y a des symboles qu'on n'a pas trop l'habitude de traiter. Une intersection, c'est une chose, une intersection 'indicée', ce n'est pas courant.
Donc faire des erreurs là dessus, admettons. Quantifier les différentes probabilités, ça n'a rien d'évident non plus.
Mais dire que les événements Xi et Xj sont indépendants, non. Si au bout de n tirages, on n'a tiré aucune boule dans l'urne n°i, alors ça augmente la probabilité d'avoir tiré une boule dans l'urne j. C'est du bon sens. Pas besoin d'avoir suivi le moindre cours pour répondre que les événements ne sont pas indépendants.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
A noter:
cet exercice est manifestement directement inspiré de l'Exercice $3$ de l'épreuve de Mathématiques Edhec $2011$ Option Économique, destinée aux élèves de Classes Préparatoires de la filière ECE (ayant passé, moins de deux ans auparavant, un baccalauréat ES).
Bien à vous, -
1. Si ta réponse était bonne tu pourrais au moins finir la question.
2. Tu n'expliques pas ton raisonnement et de plus c'est faux.
3. Je remarque que tu as entamé un nouveau sujet ailleurs alors qu'ici tu n'as pas encore fait la première question. Je trouve que ce n'est pas très bien.
D'une part on (j') a envie de t'aider mais d'autre part tu as une pratique qui est contraire à tout ce qu'il faudrait pour que tu réussisses et c'est désarmant. -
@Bidule
Merci mais regarder des corrigés tous faits je préfère éviter. En plus souvent je ne comprends pas toutes les étapes des corrigés.
Je corrige :
$p(\overline{U_{i,k}} \cap \overline{U_{j,k}} )=\Big(1-\dfrac{1}{n}\Big)^{n-1} \dfrac{n-2}{n}$
Je choisis n'importe qu'elle boule à chaque étape, sauf à la $k$ième où je n'ai plus que $n-2$ choix. -
Mais c'est du n'importe quoi. !
Attention tout de même c'est le BABA de la probabilité que tu es susceptible d'enseigner.
On a "n urnes" , on en tire une au hasard et on demande la proba que 2 urnes données ne soient pas tirées. Faut tout de même pas pousser mémé dans les orties! -
Je suis faible en dénombrement.
-
Bon allez .... j'abandonne !!
-
L'événement $X_i=1$, c'est l'événement : L'urne n°i est toujours complète.
L'événement $X_j=1$, c'est l'événement : L'urne n°j est toujours complète.
L'événement $X_i=1 \cup X_j=1$, c'est l'événement : L'urne n°i et l'urne n°j sont toujours complètes.
L'événement $X_i=1 \cup X_j=1$, c'est l'événement : tous les $n$ tirages passés sont tombés sur des urnes autres que l'urne $i$ ou l'urne $j$.
Est-ce qu'on est d'accord jusque là ?
Si oui, tu dois pouvoir conclure ?
Edit : Erreur avec Latex, c'est pas $\cup$ mais $\cap$Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Oui merci.
$P((X_i=1) \cap (X_j=1))= P(X_i=1)+P(X_j=1)-P((X_i=1) \cup (X_j=1)$ mais je ne sais pas calculer $P((X_i=1) \cup (X_j=1)$ -
On a n urnes.
Parmi ces n urnes, on en cible 2 en particulier , l'urne n°$i$ et l'urne n°$j$.
Disons que ces 2 urnes sont bleues, et que les autres sont rouges.
Au 1er tirage, on choisit une urne au hasard parmi les $n$ urnes. Quelle est la probabilité que cette urne soit rouge ?
Au 2ème tirage, on choisit une urne au hasard parmi les $n$ urnes. Quelle est la probabilité que cette urne soit rouge ?
Au 3ème tirage, on choisit une urne au hasard parmi les $n$ urnes. Quelle est la probabilité que cette urne soit rouge ?
Quelle est la probabilité que, sur chacun des $n$ tirages, on ait choisi une urne rouge ?
On est bien d'accord, cette question, ou la question 1b), c'est la même question. Ok ?
Et, présenté comme ça, ça me semble un exercice très standard, non ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
1) $\dfrac{n-2}{n}$
2) $\dfrac{n-2}{n}$
3) $\dfrac{n-2}{n}$
Je propose donc : $\boxed{P((X_i=1) \cap (Y_i=1))=(\dfrac{n-2}{n})^n}$
Il n'y a donc pas indépendance car $P(X_i=1) P(Y_j=1)= (1-\dfrac{1}{n})^{2n} \ne (\dfrac{n-2}{n})^n$ -
Oui !
Conclusion : Dans un exercice de dénombrement, il faut souvent reformuler l'énoncé.
Il ne faut pas hésiter à mettre des mots concrets sur un énoncé, pour bien voir de quoi on parle. Il n'y a pas de honte à passer par ça pour trouver la solution.
Calculer P(Xi=1 et Xj=1) , c'est une succession de symboles, pas très parlants.
Calculer la probabilité de choisir une des (n-2) urnes rouges à chaque tirage, c'est concret, c'est facile.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Merci.
J'ai une dernière question, les évènements $( \overline{U_{ik}} \cap \overline{U_{jk}})_{k \in [|1,n|]})$ sont-ils indépendants ?
Je dirais que oui car le choix des urnes est indépendant, et chaque $k$ correspond à une urne différente. -
Peut-être. Ou pas.
Que représente Uik inter Ujk ? J'ai bien une idée, mais toi, tu as une idée ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
A la kieme épreuve on ne choisit ni l'urne i ni l'urne j.
-
Oshine a écrit:Merci mais regarder des corrigés tous faits je préfère éviter. En plus souvent je ne comprends pas toutes les étapes des corrigés.
Euh... on s'est mal compris.
Mon message n'était pas du tout une invitation à consulter un quelconque corrigé: je souhaitais simplement préciser qu'il s'agit d'un exercice posé aux Concours à des ex-bacheliers ES.
Cordialement, -
Je recopie l'énoncé (juste une phrase) : On note Uik l'événement : l'urne n°$i$ est choisie à la $k$-ième épreuve.
Donc je repose la question : que représente Uik inter Ujk ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bidule les concours de prepa eco ne sont pas faciles.
-
On choisit les urnes i et j à la kieme étape. C'est impossible.
Mais quel rapport avec ma question ? -
L'événement Uik inter Ujk est impossible. Oui. Ce n'est donc pas ce que tu disais précédemment , quand tu disais Que c'était : 'l'urne choisie est ni l'urne i, ni l'urne j '
Le rapport avec ta question ?
Tu te demandes si les événéments Uik inter Ujk , pour k entre 1 et n , sont indépendants.
Ces événements sont tous l'événément 'Vide'.
Je pense que ça répond à ta question.
La vraie question, c'est pourquoi toi, tu te demandais si ces événements étaient indépendants. Pourquoi tu demandais : J'ai une dernière question etc etc ....
Tu as un gros problème : quand tu as une phrase A et une phrase B qui au final veulent dire la même chose, si A est une phrase simple, et B une phrase compliquée, tu vas garder en mémoire la phrase compliquée.
Et du coup, tu essaies de réfléchir sur des choses totalement abstraites.
Uik inter Ujk, tu essaies de calculer ce que c'est ... par des calculs compliqués. Et tu ne vois pas que c'est tout simplement l'événement Vide.
Quand il y a une solution évidente, tu ne la vois pas, la solution doit forcément être compliquée.
Arrête de te faire des noeuds dans la tête. Quand la solution est évidente, elle est évidente. Point final.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Il ne demande pas cela. Il y a une barre sur les Uxx. Donc c'est l'évènement contraire. Là, c'est toi qui a mal lu, non ?Lourran a écrit:Tu te demandes si les événéments Uik inter Ujk , pour k entre 1 et n , sont indépendants.
Je comprends mieux. Un exercice super-facile avec un énoncé alambiqué.Bbidule a écrit:il s'agit d'un exercice posé aux Concours à des ex-bacheliers ES.
Tu exagères. Le dénombrement discret, c'est 2 critères (ordre et répétition), 4 objets (Combinaison, arrangement, p-liste, combinaison avec répétition) et 2 conseils (Attention à ne pas introduire un ordre subreptice par séquence de tirages. Attention : les objets sont-ils de mêmes types ou différents ? ).OShine a écrit:Je suis faible en dénombrement.
Et c'est tout !
C'est pour cela que le sous-forum "Dénombrement et graphes" est plus vide que les autres. Tout le monde sait faire.
Mets-toi à niveau.Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Il y avait des barres !
Pourquoi OOshine ne me corrige pas ? Pourquoi laisse-t-il le quiproquo continuer ?
Uik = proba que l'urne n° i soit choisie au tour k
Uik barre = Proba inverse
Uik barre inter Ujk barre = Proba que ni l'urne i ni l'urne j ne soient choisies au tour k
Et comme on nous dit noir sur blanc ; les tirages sont indépendants les uns des autres ... effectivement, l'évenement Uik barre inter Ujk barre et l'événement Uim barre inter Ujm barre sont indépendants.
Par contre, OOShine, quand tu posais cette dernière question : tu disais : 'chaque k correspond à une urne différente'.
Non.
Chaque k correspond à une urne. On peut tomber sur une nouvelle urne à chaque tirage, mais on peut aussi retomber sur une urne déjà choisie.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
D'accord merci pour vos conseils. Je vais en faire un autre dans la journée avec du dénombrement.
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Bonjour!
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