Pour la question 1a), si tu ne connais pas la réponse, (dommage, mais ça peut arriver), tu peux essayer de la retrouver.
On a eu $l$ oeufs.
Quelle est la probabilité que 0 survivent ? que 1 survive ? que 2 survivent ? que tous survivent ? que tous survivent sauf 1 ?
Peut-être qu'après ces calculs, la formule générale te reviendra ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Sur ce point je suis d'accord avec Alexique et Gérard... En plus @Oshine je vous avais dit un jour sur le forum de reprendre vos bases en probas...Car vous vous attaquez à des exercices difficiles alors que vous ne comprenez même pas le concept des éléments que vous utilisez...Ce n'est pas comme cela que l'on progresse.
D'ailleurs si vous voulez, je peux vous envoyer mes cours d'ECE1 et d'ECE2 par mail, c'est très complet et c'est un apprentissage étape par étape pour aboutir à la résolution d'exercices comme cela ;-)
( Après je trouve que c'est bizarre quand même, car vous avez passé le concours pour être prof de collège, mais que vous ayez du mal à faire ça, enfin je pensais que le concours était plus difficile, mais ça veut dire que nous aussi les ECE on peut le passer alors, c'est cool ça :-) )
J'ai étudié tout le cours de proba de MPSI, toute les démonstrations, tous les exemples, et des dizaines d'exercices et je suis toujours aussi nul en dénombrement.
@Flora
Je ne pense pas que ce soit un exercice difficile, c'est un partiel de L2. Je connais le cours mais je ne trouve pas la première question.
Je suis peut être nul en probabilité, mais pas dans le reste. Le programme du CAPES est vaste.
@Lourran
Je ne sais pas répondre à cette question.
@Gerard0
Je ne trouve pas. Je ne sais pas comment faire.
Je recopie la question. Peut-être que tu n'as pas la même question sur ta feuille.
On a $l$ oeufs. Chaque oeuf a une probabilité p de survie. Et les oeufs sont indépendants les uns des autres.
Quelle est la probabilité qu'aucun oeuf ne survive ?
Tu peux essayer avec quelques cas particuliers. $l=1$ , $l=2$ ... puis passer au cas général.
Ensuite, un peu plus compliqué, quelle est la probabilité qu'un seul oeuf survive. Puis ensuite, il faut donner la formule générale.
Si tu as un cours sous les yeux, tu dois avoir des exercices très similaires dans le 1er chapitre ou peut-être le 2ème.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Juste, sur le fonctionnement d'un forum : je comprends bien que OShine a un rond de serviette sur les-mathematiques.net. Mais il me semble que n'importe quel autre internaute, sur n'importe quel forum, qui poste un énoncé sans commentaire, ni travail, se fait virer à grands coups de pieds aux fesses.
On peut débloquer quelqu'un; mais on ne peut (/veut) pas faire à sa place.
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages
passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique
du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on
cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on
n'a pas besoin de recopier le message passé.
Pour quelles raisons (trop) vieux? (je l'ai en stock et il prend sacrément la poussière mais il m'avait bien aidé à une lointaine époque:-D)
A l'origine l'ouvrage s'adressait aux étudiants de classes préparatoires H.E.C., de maths sup C, maths spé C et DEUG M.A.S.S.
Le type d'exercices que tu poses correspond à l'esprit de ce livre justement.
OS : "comment je peux savoir la probabilité que 0 survivent ? 1 survit ? 2 survivent ?"
En appliquant les règles élémentaires après avoir lu ce qui en est dit dans l'énoncé. ?Tu n'apprends jamais les règles pour pouvoir les utiliser. Tu attends toujours qu'on te prenne par la main pour marcher les appliquer. C'est un exercice qui se faisait en première (et se fait peut-être toujours, les programmes ont tellement changé que je ne sais plus) ou dans des classes de BTS qui ne sont absolument pas des matheux.
Tu veux nous faire croire que tu as fait une classe prépa alors que tu es incapable de faire des exercices d'application immédiate de cours de première. Ce n'est pas possible, ou alors tu as triché.
@OS : ben oui, première !!! Je faisais copier (un peu bêtement j'avoue mais je voulais que tous les ingrédients y soient) à mes 1ère ES : "il s'agit de ... répétitions d'expériences aléatoires identiques et indépendantes à 2 issues, dont le succès de probabilité .. est l'événement ... et l'échec l'évenement ... de probabilité ...." donc la variable aléatoire .... suit une loi ...... de paramètres ..... !
Mais comme d'hab, tu ne connais pas/ne comprend pas/ne bosse pas tes cours de lycée (de sûr, tu ne les bosses pas, j'hésite entre ta compréhension et ta connaissance du cours, à mon avis, les deux sont en cause). Et tu as l'air étonné de bloquer à 1ère question d'un examen de fac.
donc tu dois obtenir un truc de la forme $blabla \times \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} a^j$ avec l'égalité des coefficients et ton changement d'indice non ? Toi qui es fort en calcul...
J'ai eu une courte expérience de prof, il y a très longtemps, et je suis convaincu d'avoir proposé des exercices de ce genre en classe de 1ère Littéraire.
Et la majorité des élèves savaient faire cet exercice, même en section littéraire.
Mais je parle d'une époque où avoir son bac voulait dire quelque chose.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Soit $P(Y=k)= \displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} (q(1-p))^{j} (1-q)^{n-k-j}$
En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient : $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} q^{j}(1-p)^{j} (1-q)^{n-k-j}=(q(1-p)+1-q)^{n-k}=(1-pq)^{n-k}$
Ce qui donne $\boxed{P(Y=k)=\displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} (1-pq)^{n-k}}$
Je ne sais pas, je n'ai pas (ou plus ) l'exercice en tête mais il me semble bien que ce que tu écris n'a pas de sens. En effet dans l'événement X-Y=l, il y a la v.a Y qui joue un rôle ? Pour toi on n'a pas l'impression.
Bonjour @Oshine je veux bien t'aider sur cette dernière question mais j'attends que tu refasses l'exercice avec X suivant la loi une uniforme sur les entiers de 0 n. C'est une façon de montrer que nos efforts pour t'aider ne sont pas vains.
l'évènement [X-Y=l ] s'écrit aussi : [X=l et Y=0] ou [X=l+1 et Y=1] ou ....
Maintenant, OS va dire "c'est un exercice facile !"; parce qu'on lui a mâché le travail. Alors qu'il ne fait que copier dees solutions faites par d'autres. Deux ans que je le vois faire ..
Réponses
Pour la question 1.c. vu le déluge de calcul je te donne la réponse : $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $pq$.
Mais ici j'ai une probabilité mélangée à des nombres de cas.
On a eu $l$ oeufs.
Quelle est la probabilité que 0 survivent ? que 1 survive ? que 2 survivent ? que tous survivent ? que tous survivent sauf 1 ?
Peut-être qu'après ces calculs, la formule générale te reviendra ?
D'ailleurs si vous voulez, je peux vous envoyer mes cours d'ECE1 et d'ECE2 par mail, c'est très complet et c'est un apprentissage étape par étape pour aboutir à la résolution d'exercices comme cela ;-)
( Après je trouve que c'est bizarre quand même, car vous avez passé le concours pour être prof de collège, mais que vous ayez du mal à faire ça, enfin je pensais que le concours était plus difficile, mais ça veut dire que nous aussi les ECE on peut le passer alors, c'est cool ça :-) )
Tiens! J'ai un jour de retard, mais bonne fête quand même, Flora.
Cordialement,
Rescassol
@Flora
Je ne pense pas que ce soit un exercice difficile, c'est un partiel de L2. Je connais le cours mais je ne trouve pas la première question.
Je suis peut être nul en probabilité, mais pas dans le reste. Le programme du CAPES est vaste.
@Lourran
Je ne sais pas répondre à cette question.
@Gerard0
Je ne trouve pas. Je ne sais pas comment faire.
https://www.amazon.fr/Probabilités-statistiques-Alain-Combrouze/dp/2130460291/ref=pd_sbs_14_2/260-0172267-3538331?_encoding=UTF8&pd_rd_i=2130460291&pd_rd_r=78b3e1e0-1582-4e8a-a242-0b02a5c4159a&pd_rd_w=rKTNQ&pd_rd_wg=rspcw&pf_rd_p=f830fd1b-0a0e-45df-92ea-82301efe01f8&pf_rd_r=ABFJTPAY3DQY5VJM5BWC&psc=1&refRID=ABFJTPAY3DQY5VJM5BWC
On a $l$ oeufs. Chaque oeuf a une probabilité p de survie. Et les oeufs sont indépendants les uns des autres.
Quelle est la probabilité qu'aucun oeuf ne survive ?
Tu peux essayer avec quelques cas particuliers. $l=1$ , $l=2$ ... puis passer au cas général.
Ensuite, un peu plus compliqué, quelle est la probabilité qu'un seul oeuf survive. Puis ensuite, il faut donner la formule générale.
Si tu as un cours sous les yeux, tu dois avoir des exercices très similaires dans le 1er chapitre ou peut-être le 2ème.
Juste, sur le fonctionnement d'un forum : je comprends bien que OShine a un rond de serviette sur les-mathematiques.net. Mais il me semble que n'importe quel autre internaute, sur n'importe quel forum, qui poste un énoncé sans commentaire, ni travail, se fait virer à grands coups de pieds aux fesses.
On peut débloquer quelqu'un; mais on ne peut (/veut) pas faire à sa place.
Ca fait pas un peu vieux comme livre 1993 ?
On a $l$ œufs.
Comment je peux savoir la probabilité que $0$ survivent ? $1$ survit ? $2$ survivent ?
A l'origine l'ouvrage s'adressait aux étudiants de classes préparatoires H.E.C., de maths sup C, maths spé C et DEUG M.A.S.S.
Le type d'exercices que tu poses correspond à l'esprit de ce livre justement.
En appliquant les règles élémentaires après avoir lu ce qui en est dit dans l'énoncé. ?Tu n'apprends jamais les règles pour pouvoir les utiliser. Tu attends toujours qu'on te prenne par la main pour marcher les appliquer. C'est un exercice qui se faisait en première (et se fait peut-être toujours, les programmes ont tellement changé que je ne sais plus) ou dans des classes de BTS qui ne sont absolument pas des matheux.
Tu veux nous faire croire que tu as fait une classe prépa alors que tu es incapable de faire des exercices d'application immédiate de cours de première. Ce n'est pas possible, ou alors tu as triché.
Ohh bah dit comme ça, ça fait oxymore hihi :-D
Bon aller j'arrête de vous charrier, bon courage !
Mais comme d'hab, tu ne connais pas/ne comprend pas/ne bosse pas tes cours de lycée (de sûr, tu ne les bosses pas, j'hésite entre ta compréhension et ta connaissance du cours, à mon avis, les deux sont en cause). Et tu as l'air étonné de bloquer à 1ère question d'un examen de fac.
Question 1.a :
$P(Y=k | X=l)= \displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$
Question 1.b :
$P((Y=k) \cap (X=l))= P(Y=k | X=l) P(X=l)$.
Or $P(X=l)=\displaystyle\binom{n}{l} q^l (1-q)^{n-l}$
Donc $\boxed{P((Y=k) \cap (X=l))=\displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l} }$
Question 1.c :
Comme $0 \leq k \leq l \leq n$ :
$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$
J'ai démontré l'égalité des coefficients binomiaux, mais je m'en sors pas. J'ai tenté plusieurs choses, dont le changement d'indice $j=l-k$.
Tu te vantes que tu es fort en calcul, montre le maintenant ! Tu as fait la moitié du boulot... On va quand même pas te corriger ça à la place
Et la majorité des élèves savaient faire cet exercice, même en section littéraire.
Mais je parle d'une époque où avoir son bac voulait dire quelque chose.
@Alexis
Ok, je pense avoir trouvé l'inspiration.
La question 1.c me semble corsée pour des littéraires. Même en terminale S c'est bien trop technique.
$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$
Donc :
$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{n-k}{l-k} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$
Posons $j=l-k$ alors :
$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{n-k}{j} p^k q^{j+k} (1-p)^{j} (1-q)^{n-k-j}$
Soit $P(Y=k)= \displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} (q(1-p))^{j} (1-q)^{n-k-j}$
En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient : $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} q^{j}(1-p)^{j} (1-q)^{n-k-j}=(q(1-p)+1-q)^{n-k}=(1-pq)^{n-k}$
Ce qui donne $\boxed{P(Y=k)=\displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} (1-pq)^{n-k}}$
Conclusion : $\boxed{Y \sim \mathcal B(n,pq)}$
Maintenant la partie 2 sans aide au boulot
Question 2.a :
$P(Y=k | X=l)= \displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$
Question 2.b :
$P((Y=k) \cap (X=l))=\displaystyle\binom{l}{k} p^k q^l (1-p)^{l-k} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^k}{k!}$
= p^k \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^k}{k!} \displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{l}{k} q^l (1-p)^{l-k} \\
= p^k \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^k}{k!} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{j+k}{k} q^{j+k} (1-p)^{j} \\
= p^k q^k \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^k}{k!} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{j+k}{k} q^{j+k} (1-p)^{j}$
Je bloque ici.
2) C'est quoi ce n?
Question 2.b :
$P((Y=k) \cap (X=l))=\displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^l}{l!}$
Question 2.c :
$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^{+\infty} \displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^l}{l!} \\
= p^k \exp(-\lambda) \displaystyle\sum_{l=k}^{+\infty} \displaystyle\binom{l}{k} (1-p)^{l-k} \dfrac{\lambda^l}{l!}$
Mais $\displaystyle\binom{l}{k} \dfrac{1}{l!}=\dfrac{1}{k! (l-k)!}$
Donc $P(Y=k)=\dfrac{p^k}{k!} \exp(-\lambda) \displaystyle\sum_{l=k}^{+\infty} \dfrac{1}{(l-k)!} (1-p)^{l-k} \lambda^l \\
=\dfrac{p^k}{k!} \exp(-\lambda) \displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty} \dfrac{1}{j!} (1-p)^{j} \lambda^{j+k} \\
= \dfrac{\lambda^k p^k}{k!} \exp(-\lambda) \displaystyle\sum_{j=0}^{+\infty} \dfrac{(\lambda(1-p))^j}{j!} \\
=\dfrac{\lambda^k p^k}{k!} \exp(-\lambda) \exp( \lambda-\lambda p) $
Finalement $\boxed{P(Y=k)=\dfrac{(\lambda p)^k}{k!} \exp(-\lambda p)}$
Donc $\boxed{Y \sim \mathcal P(\lambda p)}$
$(Y=k,X-Y=l)=(Y=k,X=k+l)$ donc :
$P(Y=k,X-Y=l)=\displaystyle\binom{k+l}{k} p^k (1-p)^{l} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^{k+l}}{(k+l)!}$
En outre, $P(Y=k) P(X=k+l)=\dfrac{(\lambda p)^k}{k!} \exp(-\lambda p) \dfrac{(\lambda)^{k+l}}{(k+l)!} \exp(-\lambda )$
Il n'y a pas égalité :-S
@OS, en guise de synthèse je propose que tu refasses l'exercice mais en supposant maintenant que X suit la loi uniforme sur
0, n. B-)-
Je n'ai pas encore résolu la dernière question. Mais pourquoi pas.
Je dois calculer $P(X-Y=l)$ mais je sèche.
L'événement [X-Y=l] est l'union disjointe de ...
Je ne vois pas comment manipuler l'évènement $(X-Y=l)$
@Oshine je veux bien t'aider sur cette dernière question mais j'attends que tu refasses l'exercice avec X suivant la loi une uniforme sur les entiers de 0 n. C'est une façon de montrer que nos efforts pour t'aider ne sont pas vains.
l'évènement [X-Y=l ] s'écrit aussi : [X=l et Y=0] ou [X=l+1 et Y=1] ou ....
Pour la loi uniforme $P(X=l)=\dfrac{1}{n+1}$
Donc $P(Y=k)=\dfrac{1}{n+1} \displaystyle\sum_{l=k}^n \binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$
Je vérifie et je change mes commentaires.....