Tortue sur une plage

Je ne vois pas quelle formule utiliser pour calculer la probabilité.

J'ai étudié tout le cours de proba de MPSI, toute les démonstrations, tous les exemples, et des dizaines d'exercices et je suis toujours aussi nul en dénombrement.

@Flora
Je ne pense pas que ce soit un exercice difficile, c'est un partiel de L2. Je connais le cours mais je ne trouve pas la première question.

Je suis peut être nul en probabilité, mais pas dans le reste. Le programme du CAPES est vaste.

@Lourran
Je ne sais pas répondre à cette question.

@Gerard0
Je ne trouve pas. Je ne sais pas comment faire.

@Biely
Ca fait pas un peu vieux comme livre 1993 ?

On a $l$ œufs.
Comment je peux savoir la probabilité que $0$ survivent ? $1$ survit ? $2$ survivent ?

OK je vais trouver le résultat tout seul alors si c'est niveau première

J'ai avancé un peu.

Question 1.a :

$P(Y=k | X=l)= \displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$

Question 1.b :

$P((Y=k) \cap (X=l))= P(Y=k | X=l) P(X=l)$.

Or $P(X=l)=\displaystyle\binom{n}{l} q^l (1-q)^{n-l}$

Donc $\boxed{P((Y=k) \cap (X=l))=\displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l} }$

Question 1.c :

Comme $0 \leq k \leq l \leq n$ :

$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$

J'ai démontré l'égalité des coefficients binomiaux, mais je m'en sors pas. J'ai tenté plusieurs choses, dont le changement d'indice $j=l-k$.

@Noobey
@Alexis

Ok, je pense avoir trouvé l'inspiration.

La question 1.c me semble corsée pour des littéraires. Même en terminale S c'est bien trop technique.

$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{l}{k} \displaystyle\binom{n}{l} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$

Donc :

$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{l=k}^n \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{n-k}{l-k} p^k q^l (1-p)^{l-k} (1-q)^{n-l}$

Posons $j=l-k$ alors :

$P(Y=k)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n}{k} \displaystyle\binom{n-k}{j} p^k q^{j+k} (1-p)^{j} (1-q)^{n-k-j}$

Soit $P(Y=k)= \displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} \displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} (q(1-p))^{j} (1-q)^{n-k-j}$

En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient : $\displaystyle\sum_{j=0}^{n-k} \displaystyle\binom{n-k}{j} q^{j}(1-p)^{j} (1-q)^{n-k-j}=(q(1-p)+1-q)^{n-k}=(1-pq)^{n-k}$

Ce qui donne $\boxed{P(Y=k)=\displaystyle\binom{n}{k} (pq)^{k} (1-pq)^{n-k}}$

Conclusion : $\boxed{Y \sim \mathcal B(n,pq)}$

Je ne suis pas trop habitué à manipuler la loi de Poisson. Le début est-il correct ?

Question 2.a :

$P(Y=k | X=l)= \displaystyle\binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$

Question 2.b :

$P((Y=k) \cap (X=l))=\displaystyle\binom{l}{k} p^k q^l (1-p)^{l-k} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^k}{k!}$

La dernière question je n'ai pas d'idée.

Ok merci.

$(Y=k,X-Y=l)=(Y=k,X=k+l)$ donc :

$P(Y=k,X-Y=l)=\displaystyle\binom{k+l}{k} p^k (1-p)^{l} \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda^{k+l}}{(k+l)!}$

En outre, $P(Y=k) P(X=k+l)=\dfrac{(\lambda p)^k}{k!} \exp(-\lambda p) \dfrac{(\lambda)^{k+l}}{(k+l)!} \exp(-\lambda )$

Il n'y a pas égalité :-S

@Bd2017

Je n'ai pas encore résolu la dernière question. Mais pourquoi pas.

Ah merci j'ai compris l'erreur.

Je dois calculer $P(X-Y=l)$ mais je sèche.

$P(X-Y=l)= \displaystyle\sum_{k=0}^l P(X=l+k)= \displaystyle\sum_{k=0}^l \exp(-\lambda) \dfrac{\lambda ^{k+l}}{k+l}$ ?

J'ai essayé d'utiliser la formule des probabilités totales.

Je ne vois pas comment manipuler l'évènement $(X-Y=l)$

Ok merci.

Pour la loi uniforme $P(X=l)=\dfrac{1}{n+1}$

Donc $P(Y=k)=\dfrac{1}{n+1} \displaystyle\sum_{l=k}^n \binom{l}{k} p^k (1-p)^{l-k}$