Inégalité

Ramufasa
Ramufasa
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir,

Soit (X_i) un n-échantillon de variables aléatoires i.i.d. de loi commune P. On suppose qu'il existe R > 0 tel que E[||X||^2] =< R^2.
Soit (epsilon_i) des variables aléatoires i.i.d. de Rademacher.

Il s'agit de montrer que $E[\sup_{||\theta|| \leq D} 1/n \sum_{i=1}^n \epsilon_i {}^t(\theta) X_i] \leq RD/ \sqrt{n}.$ (rectifié)

Ce que j'ai fait.
Pour tout theta de norme =< D, on a
1/n sum_{i=1}^n epsilon_i transposée(theta) X_i] =< 1/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||theta|| ||X_i|| (par Cauchy-Schwarz)
=< D/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||X_i||
Puis je passe à la borne supérieure, puis à l'espérance et j'applique Cauchy-Schwarz (en termes d'espérances) pour obtenir une majoration par RD. J'ai du mal à voir comment récupérer le facteur 1/sqrt(n), et je vois bien que je n'ai pas utilisé l'indépendance des epsilon_i, c'est donc sûrement là que ça coince.
Quelqu'un pourrait me souffler une indication svp ?
Merci d'avance !

[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]

Réponses

  • P.
    P.
    Je réécris avec du latex : tu veux montrer si $X_1,\ldots,X_n$ sont iid dans $\R^d$ (je suppose)
    $$\mathbb{E}\left[\sup_{\|\theta\|<D}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\epsilon_i\langle \theta,X_i\rangle \right]\leq\frac{1}{n} RD.$$ Ça parait faux, en prenant $\ d=R=D=1\ $ et les $\ X_i=1$ ps. Donne donc le bon énoncé s'il te plaît, peut-être avec $ \frac{1}{\sqrt{n}} RD$ au second membre.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Bonjour,

    Il s'agit bien de 1/sqrt(n) au dénominateur ! Je soupçonne AD d'avoir saboté mon énoncé (cf "J'ai du mal à voir comment récupérer le facteur 1/sqrt(n)") :-D
  • gerard0
    gerard0
    Avant de t'en prendre à AD, tu ferais bien d'apprendre à écrire tes formules en LaTeX, et de les vérifier avant d'envoyer avec "Aperçu". C'est une politesse élémentaire quand on envoie souvent des formules.
    Dénigrer le travail de celui qui fait le tien est assez malséant !
  • gerard0
    gerard0
    Et en général, on signale sa rectification, quand elle vient suite à des remarques situées après ! par simple politesse.

    Cordialement.
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Oulala Gérard il ne faut pas t'emporter comme ça. C'était une simple boutade; je suis bien évidemment reconnaissant envers AD d'avoir rendu plus lisible mon message et je ne cherchais en rien à dénigrer son travail.

    Concernant le Latex, je devrais effectivement m'y mettre. Je m'excuse si mes messages ne sont pas très agréables à lire. Simplement je suis actuellement plusieurs cursus universitaires en même temps et je manque de temps pour cela.

    Cordialement.
  • P.
    P.
    $$\frac{1}{D}\mathbb{E}\left(\sup_{\|\theta\|<D}\langle\theta,\sum_{i=1}^n\epsilon_i X_i\rangle
    \right)=\mathbb{E}\left(\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iX_i\|\right)\leq \left(\mathbb{E}\left(\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iX_i\|^2\right)\right)^{1/2}=\left(\sum_{i=1}^n\mathbb{E}(\|X_i\|^2)\right)^{1/2}\leq R\sqrt{n}.$$
  • Ramufasa
    Ramufasa
    Merci infiniment P. !
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