Inégalité
Bonsoir,
Soit (X_i) un n-échantillon de variables aléatoires i.i.d. de loi commune P. On suppose qu'il existe R > 0 tel que E[||X||^2] =< R^2.
Soit (epsilon_i) des variables aléatoires i.i.d. de Rademacher.
Il s'agit de montrer que $E[\sup_{||\theta|| \leq D} 1/n \sum_{i=1}^n \epsilon_i {}^t(\theta) X_i] \leq RD/ \sqrt{n}.$ (rectifié)
Ce que j'ai fait.
Pour tout theta de norme =< D, on a
1/n sum_{i=1}^n epsilon_i transposée(theta) X_i] =< 1/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||theta|| ||X_i|| (par Cauchy-Schwarz)
=< D/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||X_i||
Puis je passe à la borne supérieure, puis à l'espérance et j'applique Cauchy-Schwarz (en termes d'espérances) pour obtenir une majoration par RD. J'ai du mal à voir comment récupérer le facteur 1/sqrt(n), et je vois bien que je n'ai pas utilisé l'indépendance des epsilon_i, c'est donc sûrement là que ça coince.
Quelqu'un pourrait me souffler une indication svp ?
Merci d'avance !
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
Soit (X_i) un n-échantillon de variables aléatoires i.i.d. de loi commune P. On suppose qu'il existe R > 0 tel que E[||X||^2] =< R^2.
Soit (epsilon_i) des variables aléatoires i.i.d. de Rademacher.
Il s'agit de montrer que $E[\sup_{||\theta|| \leq D} 1/n \sum_{i=1}^n \epsilon_i {}^t(\theta) X_i] \leq RD/ \sqrt{n}.$ (rectifié)
Ce que j'ai fait.
Pour tout theta de norme =< D, on a
1/n sum_{i=1}^n epsilon_i transposée(theta) X_i] =< 1/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||theta|| ||X_i|| (par Cauchy-Schwarz)
=< D/n sum_{i=1}^n epsilon_i ||X_i||
Puis je passe à la borne supérieure, puis à l'espérance et j'applique Cauchy-Schwarz (en termes d'espérances) pour obtenir une majoration par RD. J'ai du mal à voir comment récupérer le facteur 1/sqrt(n), et je vois bien que je n'ai pas utilisé l'indépendance des epsilon_i, c'est donc sûrement là que ça coince.
Quelqu'un pourrait me souffler une indication svp ?
Merci d'avance !
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
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Réponses
$$\mathbb{E}\left[\sup_{\|\theta\|<D}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\epsilon_i\langle \theta,X_i\rangle \right]\leq\frac{1}{n} RD.$$ Ça parait faux, en prenant $\ d=R=D=1\ $ et les $\ X_i=1$ ps. Donne donc le bon énoncé s'il te plaît, peut-être avec $ \frac{1}{\sqrt{n}} RD$ au second membre.
Il s'agit bien de 1/sqrt(n) au dénominateur ! Je soupçonne AD d'avoir saboté mon énoncé (cf "J'ai du mal à voir comment récupérer le facteur 1/sqrt(n)") :-D
Dénigrer le travail de celui qui fait le tien est assez malséant !
Cordialement.
Concernant le Latex, je devrais effectivement m'y mettre. Je m'excuse si mes messages ne sont pas très agréables à lire. Simplement je suis actuellement plusieurs cursus universitaires en même temps et je manque de temps pour cela.
Cordialement.
\right)=\mathbb{E}\left(\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iX_i\|\right)\leq \left(\mathbb{E}\left(\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iX_i\|^2\right)\right)^{1/2}=\left(\sum_{i=1}^n\mathbb{E}(\|X_i\|^2)\right)^{1/2}\leq R\sqrt{n}.$$