Probabilité loi normale

sevaus
sevaus
dans Probabilités, théorie de la mesure
[large][/large]Bonjour,

Soit $X$ et $Y$ iid de loi commune $\mathcal{N}(0, 1)$.
Je cherche à calculer $\mathbb{P}(X + Y \geq 0, Y \geq 0)$.

Je trouve $\frac1{2\pi}\displaystyle \int_0^{+\infty} \int_{-y}^{+\infty} e^{-x^2/2} e^{-y^2/2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$; je passe alors en polaire avec $x = r \cos\theta, y = r\sin \theta$ pour $-\pi \leq \theta \leq \pi$.

La condition $x + y \geq 0$ devient alors $\cos(\theta - \pi/4) \geq 0$ soit $-\pi/2 \leq \theta - \pi/4 \leq \pi/2$ ou encore $-\pi/4 \leq \theta \leq 3\pi/4$.

La condition $y \geq 0$ devient elle $\sin\theta \geq 0$ soit $0 \leq \theta\leq \pi$ et on a donc $0 \leq \theta \leq 3\pi/4$ d'où

$\mathbb{P}(X + Y \geq 0, Y \geq 0) = \displaystyle \frac1{2\pi} \int_{0}^{3\pi/4} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2/2} r\,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta= \frac38$.

Pourtant, je trouve $\frac14$ par Monte Carlo et je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement ci-dessus

Réponses

  • P.
    P.
    C'est ton Monte Carlo qui debloque.
  • sevaus
    sevaus
    Merci pour ta réponse rapide P., j'avais effectivement commis une faute de code
  • sevaus
    sevaus
    Bonjour,

    Je reviens sur le calcul de cette probabilité avec un moyen très simple.
    En traçant $y = 0$ et $x + y = 0$, il est très "facile" de se rendre compte que la probabilité est effectivement $\frac38$.

    Maintenant, cette approche se base sur le fait que la loi normale centrée réduite de $\mathbb{R}^2$ charge les arcs de cercle de la même manière (même si ce n'est pas très clair) car celle-ci est invariante par rotation (ie $A ^{t}(X, Y)$ a même loi que $(X, Y)$).

    Est-ce correct?
  • P.
    P.
    Tout a fait.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Un petit code python qui confirme bien sûr la théorie :
    import numpy as np
import random as rd

def tirages(n) :
    succ=0
    for i in range(n) :
        X=rd.normalvariate(0,1) ; Y=rd.normalvariate(0,1)
        if X+Y>=0 and Y>=0 : succ+=1
    return succ
            
def epreuves(p,n) :
    res=[]
    for i in range(p) :
        res.append(tirages(n)/n)
    mo=np.mean(res) ; et=np.std(res)
    proba=3/8 ; etth=np.sqrt(proba*(1-proba)/n)
    print("moyenne : {:.3g} (théorique : {:.3g})\
          \nécart-type : {:.3g} (théorique : {:.3g})"
          .format(mo,proba,et,etth))

    On essaie 
    epreuves(1000,1000)
    moyenne : 0.376 (théorique : 0.375)
    écart-type : 0.0148 (théorique : 0.0153)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    En modifiant un peu le code python ci-dessus, on peut explorer des variantes.

    1°) En remplaçant la loi normale par la loi uniforme sur $[-1,1]$ :

    X,Y uniformes dans [-1,1], indépendantes
    X+Y>=0, Y>=0; 1000 épreuves de 1000 tirages
    moyenne : 0.375 (théorique : 0.375)
    écart-type : 0.0151 (théorique : 0.0153)

    2°) En gardant la loi normale mais en faisant tourner le secteur angulaire :

    X,Y indépendantes de lois N(0,1)
    4*X+3*Y>=0, 7*X-Y>=0; 1000 épreuves de 1000 tirages
    moyenne : 0.375 (théorique : 0.375)
    écart-type : 0.0156 (théorique : 0.0153)

    3°) En remplaçant la loi normale par la loi uniforme sur $[-1,1]$ et en faisant tourner le secteur angulaire :

    X,Y uniformes dans [-1,1], indépendantes
    4*X+3*Y>=0, 7*X-Y>=0; 1000 épreuves de 1000 tirages
    moyenne : 0.389 (théorique : 87/224, à peu près 0.388)
    écart-type : 0.0154 (théorique : 0.0154)

    D'où viennent les probas théoriques, en particulier le 87/224 ?
  • Sylviel
    Sylviel
    Sevaus a écrit:
    Maintenant, cette approche se base sur le fait que la loi normale centrée réduite de $\mathbb{R}^2$ charge les arcs de cercle de la même manière (même si ce n'est pas très clair) car celle-ci est invariante par rotation.
    Pour être précis ce que l'on utilise ici c'est le fait que la densité du couple est radiale (i.e. $f(x,y)=g(x^2+y^2)$), d'où la décomposition en 8 intégrales identiques dont on sait que la somme vaut 1.
  • P.
    P.
    Gabu demande 'D'où viennent les probas théoriques, en particulier le 87/224 ?' Cad si $(X,Y)$ est uniforme sur $[-1,1]^2$ pourquoi $\Pr(A)=87/224$ si $A=\{4X+3Y>0,\ 7X-Y>0\}$? Reponse : l'evenement $B=\{4X+3Y>0,\ 7X-Y<0\}$ est le triangle de sommets {0,0}, (-3/4,1) et (1/7,1), de base 25/28 et de hauteur 1. Donc $$\Pr(A)=\frac{1}{2}-\Pr(B)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\frac{25}{2\times 28}=\frac{87}{224}.$$



    Quant au cas ou $(X,Y)\sim N(0,I_2)$, les droites qui limitent $B$ sont $\frac{4}{5}X+\frac{3}{5}Y=0$ et $-\frac{7\sqrt{2}} {10}X+\frac{\sqrt{2}} {10}Y=0,$ ce qui fait que $\Pr(B)=\frac{3}{8}$ car leur angle est donne par le produit scalaire des vecteurs directeurs unitaires

    $$-\frac{4}{5}\frac{7\sqrt{2}} {10}+\frac{3}{5}\frac{\sqrt{2}} {10}=-\frac{\sqrt{2}} {2}=\cos \frac{3\pi}{4}.$$






    Coquilles corrigees merci Gbzm.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour P.,
    Des coquilles dans la description de A et B gênent la compréhension. Peux-tu corriger ?
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