Somme fausse

Dès la première égalité, je vois quelque chose qui cloche : pourquoi commencer la somme à $k=n-1$.

A la cinquième ligne, il manque une parenthèse après le signe somme. Elle réapparaît à la septième ligne, mais est oubliée ensuite !! Résultat faux.
Pour bien calculer, on écrit de grandes parenthèses, pour bien les voir, et on vérifie à la fin de chaque ligne de calcul, qu'on a bien repris tout ce qu'il y avait à la ligne au-dessus. C'est impératif, il ne sert à rien de faire 20 lignes de calcul si le résultat est faux !!

Cordialement.

Au vu de la formule pour $P(T= k)$, on voit que $T \geq 1 $ et aussi que $P(T=1) = 0$, donc $P(T \geq 2) = 1$ ce qui ne convient pas avec la formule proposée.

Voici un calcul qui respecte tes idées, en écrivant $q = 1- p$ , on a :
$$
\sum_{k\geq n+1} (k-1) p^2 q^{k-2} \; = \; p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} .

$$ Avec le changement d'indice $k = n+k+1$,
$$
p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} \; = \; p^2 n q^{n-1} \sum_{k\geq 0} q^{k} + p^2 q^{n} \sum_{k\geq 0} kq^{k-1} .

$$ On sait : $ \sum_{k\geq 0} q^{k} = \frac{1}{p}$ et $\sum_{k\geq 0} kq^{k-1} = \frac{1}{p^2}.$ Il reste :
$$
p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} \; = \; p n q^{n-1} + q^n \; = \; q^{n-1}(np + q) \; =\; n q^{n-1}-(n-1)q^n.

$$ Donc, $P(T > n) = n q^{n-1}-(n-1)q^n$ et cette formule donne $P(T > 1) = 1$ qui est cohérent.