Somme fausse
Bonjour,
Je bloque sur une somme, je n'ai pas de correction détaillée, qu'un résultat que je n'arrive pas à obtenir. Pourriez-vous m'indiquer ce que je fais mal s'il-vous-plaît ? Mes calculs et la réponse attendue sont dans les fichier joint.
Merci d'avance,
Mélodie.
Je bloque sur une somme, je n'ai pas de correction détaillée, qu'un résultat que je n'arrive pas à obtenir. Pourriez-vous m'indiquer ce que je fais mal s'il-vous-plaît ? Mes calculs et la réponse attendue sont dans les fichier joint.
Merci d'avance,
Mélodie.
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Réponses
Édit: je n'avais pas vu le -1 en exposant, je poursuis la lecture.
Revois le passage de la ligne 5 à la ligne 6
Merci de votre aide et patience.
Je ne comprends pas où sont passés les n dans le calcul. A une ligne, ils sont là, donc l'expression dépend de n, à la ligne suivante plus rien !!
Donc une grosse frouille : la somme des $(k+n)(1-p)^{k+n}$ n'est pas la somme des $k(1-p)^k$.
Cordialement.
Merci beaucoup ! Puis-je la calculer comme cela ?
Cordialement.
Pour bien calculer, on écrit de grandes parenthèses, pour bien les voir, et on vérifie à la fin de chaque ligne de calcul, qu'on a bien repris tout ce qu'il y avait à la ligne au-dessus. C'est impératif, il ne sert à rien de faire 20 lignes de calcul si le résultat est faux !!
Cordialement.
Pour les parenthèses, merci beaucoup je pense avoir compris les erreurs à ne pas faire maintenant.
Cordialement.
Voici un calcul qui respecte tes idées, en écrivant $q = 1- p$ , on a :
$$
\sum_{k\geq n+1} (k-1) p^2 q^{k-2} \; = \; p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} .
$$ Avec le changement d'indice $k = n+k+1$,
$$
p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} \; = \; p^2 n q^{n-1} \sum_{k\geq 0} q^{k} + p^2 q^{n} \sum_{k\geq 0} kq^{k-1} .
$$ On sait : $ \sum_{k\geq 0} q^{k} = \frac{1}{p}$ et $\sum_{k\geq 0} kq^{k-1} = \frac{1}{p^2}.$ Il reste :
$$
p^2 \sum_{k\geq 0} (n+k) q^{n+k-1} \; = \; p n q^{n-1} + q^n \; = \; q^{n-1}(np + q) \; =\; n q^{n-1}-(n-1)q^n.
$$ Donc, $P(T > n) = n q^{n-1}-(n-1)q^n$ et cette formule donne $P(T > 1) = 1$ qui est cohérent.