Négation d'un ensemble négligeable

Chalk · December 2020

Bonjour à tous,

Je considère qu'un ensemble $A$ de $\mathbb R$ muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue est négligeable s'il existe un borélien $B$ de mesure nulle qui contient $A$.

À présent, supposons que $A$ ne soit pas négligeable, donc tout borélien qui contient $A$ est de mesure strictement positive. Est-il vrai qu'il existe un borélien $B$ de mesure strictement positive inclus dans $A$ ?

Cela ne me paraît pas évident.

Calli · December 2020

Salut,
L'ensemble de Vitali n'est pas négligeable, mais il ne contient aucun borélien de mesure non nulle.

Chalk · December 2020

Je pressentais que c'était faux, merci beaucoup de m'avoir confirmé cela avec un contre-exemple ;-)

Corto · December 2020

Si $A$ est mesurable (au sens de Lebesgue) alors c'est vrai. Il y a plusieurs façons de voir ça, par exemple en disant que la mesure de Lebesgue et régulière, donc
\[
\lambda(A)= \sup \lambda(K)
\]
où le sup est pris sur l'ensemble des ensembles $K$ compacts inclus dans $A$. Les compacts sont des Boréliens et donc ça conclut.

Chalk · December 2020

Je ne comprends plus du coup. Si $A$ négligeable, il est bien mesurable pour la tribu de Lebesgue non ? Et donc d'après ce que tu dis le résultat serait vrai alors qu'il est censé être faux ?

gerard0 · December 2020

Heu ... un négligeable qui serait non négligeable ?

Cordialement.

Corto · December 2020

Chalk :
D'après le poste de calli ton résultat est faux dans le cas où $A$ est quelconque.
D'après mon poste ton résultat est vrai si l'on rajoute l'hypothèse que $A$ est mesurable.

Chalk · December 2020

@gerard : je ne considère pas un négligeable non négligeable, je rappelais quelle définition de négligeable j'utilisais, car il y en a plusieurs qui ne sont PAS équivalentes.

@Corto : je ne comprends toujours pas, mesurable pour quel tribu ? Il me semblait que tout ensemble négligeable pour la mesure de Borel était mesurable pour la tribu de Lebesgue. Donc je ne vois pas quelle hypothèse tu rajoutes ?

Si tu rajoutes que $A$ est mesurable pour la tribu borélienne, alors bien sûr le résultat est trivial, vu que $A$ est contenu dans lui-même.

Calli · December 2020

Mais ta question porte justement sur un non négligeable ! Donc on se moque de la mesurabilité des négligeables.

Allez, respire un bon coup. Tu t'es juste emmêlé les pinceaux. :-D

Chalk · December 2020

Ah oui j'ai bien déliré comme il faut, merci beaucoup B-)-

Calli · December 2020

PS: Comme tu as commencé par "je considère qu'un ensemble $A$ de $\mathbb R$", j'ai pris "$A$ non négligeable" au sens de "$A$ n'a pas une mesure nulle", mais en particulier $A$ peut ne pas avoir de mesure du tout (i.e. être non Lebesgue-mesurable, comme Vitali).

Corto · December 2020

Bon tu sembles avoir levé la confusion par toi même mais au cas où :
Je dis que $A$ est mesurable au sens de Lebesgue s'il appartient à la tribu de Lebesgue.

Par contre tu dis qu'il existe des définitions non équivalentes de la négligeabilité, j'ai l'impression qu'au contraire elles sont toutes équivalentes.

Poirot · December 2020

Je pense que Chalk se réfère au fait que, dans certains textes, une partie d'un espace mesuré est dite négligeable lorsqu'une telle partie est de mesure nulle. C'est équivalent à la définition dont on parle ici lorsque la tribu considérée est complète, sinon c'est plus restrictif puisque ça impose la mesurabilité.