Estimateur

'Mauvais' depend du point de vue. Traditionnement mauvais signifie que sa variance $V(T_n)(\theta)$ est plus grande pour tout $ \theta $ que celle d'un autre estimateur. Dans le cas que tu consideres, un bien meilleur estimateur de ce point de vue est $M_n=\max_iX_i.$ Mais ecoute, cela me casse les pieds de calculer la variance de $M_n$ qui doit etre de l'ordre de $1/n^2$ alors que celle de $T_n$ est de l'ordre de $1/n.$ Pour me faire pardonner ma flemme je considere un probleme voisin celui d'estimer $\theta>0$ quand on observe $\theta U_1,\cdots,\theta U_n$ lorsque $U_1,\ldots,U_n$ sont iid uniformes sur $[0,1]$ Prenons $T_n=\theta\frac{1}{n}(U_1+\cdots+U_n)$ et $M_n=\theta\max (U_i).$ Les calculs sont faciles et donnent $V(T_n)=\theta^2/(12n)$ et $V(M_n)=n\theta^2/((n+2)(n+1)^2).$

Hum, pour Cramer Rao, je crains que la densite ne soit pas differentiable en $\theta...$