Urnes, boules et suites

OShine
OShine
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir,

Mes problèmes chroniques à résoudre des exercices utilisant du dénombrement :-(

Je bloque déjà à la question 1.

J'écris $X_0(\Omega)=\{0,1,2\}$.

$P(X_0=0)=p_0$ puis $P(X_0=1)=q_0$ et $P(X_0=2)=r_0$

Je ne vois pas comment trouver la probabilité d'avoir 0 boules noires, 1 boule noire dans l'urne A.113774

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Au lieu de baratiner, traite la question :
    On place deux boules prises au hasard parmi les 4 dans l'urne A. Quelle est la probabilité qu'il y en ait 0 noires ? 1 noire ? 2 noires ?

    Tu n'as pas "des problèmes chroniques à résoudre des exercices utilisant du dénombrement", seulement un refus de chercher toi-même. C'est morbide !
  • Flora
    Flora
    Fais toi un dessin pour mieux comprendre, elle est vraiment très simple cette question ;-)
  • OShine
    OShine
    Ok merci.

    Il y a $\binom{4}{2}=6$ façon de placer les boules dans l'urne A.

    Pour obtenir 0 noires, on doit avoir 2 rouges ce qui est possible que dans un seul cas donc $\boxed{P(X_0=0)=\dfrac{1}{6}}$

    Pour obtenir 2 noire, on a soit un seul cas possible donc $\boxed{P(X_0=2)=\dfrac{1}{6}}$

    Et enfin $P(X_0=1)=1-P(X_0=0)-P(X_0=1)$ donc $\boxed{P(X_0 =1)=\dfrac{2}{3}}$

    Question 2 :

    $ \{ (X_n=0) , (X_n=1), (X_n=2) \}$ forment un système complet d'évènement. D'après la formule des probabilités totales :

    $p_{n+1} = p_n P(X_{n+1}=0 | X_n =0) + q_n P(X_{n+1}=0 | X_n =1)+ r_n P(X_{n+1}=0 | X_n =2)$

    J'ai du mal à déterminer toutes les probabilités conditionnelles...

    Or : $P(X_{n+1}=0 | X_n =0)=0$ et $P(X_{n+1}=0 | X_n =2)=0$

    Calculons : $P(X_{n+1}=0 | X_n =1)$. On doit choisir une boule noire dans l'urne A et une boule rouge dans l'urne B.

    Je bloque ici. Comment on sait la probabilité de choisir une noire dans l'urne A ?
  • lourrran
    lourrran
    Il faut souvent chercher à reformuler l'énoncé. Quelles sont les informations utiles pour la 1ère question, et celles qui serviront plus tard. Je vais le dire autrement : il faut réfléchir. Il n'y a aucune connaissance théorique à connaître, il faut juste réfléchir.

    Pour la suite de l'exercice, il y a un truc pas très clair dans l'énoncé.
    On dit qu'on prend une boule dans chaque boite, et qu'on la replace dans l'autre boite.
    Ce n'est pas 100% clair.
    Option 1 : on prend une boule dans la boite A, on la place dans la boite B, puis on prend une boule dans la boite B, et on la place dans la boite A
    Option 2 : on prend une boule dans la boite B, on la place dans la boite A, puis on prend une boule dans la boite A, et on la place dans la boite B
    Option 3 : on prend une boule dans chaque boite, on fait bien attention de ne pas les confondre, et on replace chaque boule dans l'autre boite.

    Les calculs ne seront pas les mêmes selon qu'on comprend l'une ou l'autre option.
    A priori, la bonne option est la 3.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    @Lourran
    Oui je me suis posé cette question je ne trouvais pas l'énoncé très clair.

    Du coup je crois avoir trouvé $P(X_{n+1}=0 | X_n =1)$

    Après $n$ essais, on a $1$ boule noire et $1$ boule rouge dans l'urne $A$. On a la même configuration dans l'urne $B$.

    Donc $P(X_{n+1}=0 | X_n =1)= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

    Ce qui donne $\boxed{p_{n+1}= \dfrac{1}{4} q_n}$

    Je trouve ensuite $q_{n+1}= p_n + q_n P(X_{n+1}=1 | X_n =1)+r_n$

    Je dois déterminer $P(X_{n+1}=1 | X_n =1)$. On a N-R dans l'urne A et N-R dans l'urne B.
    On doit donc choisir R dans l'urne A et R dans l'urne B ou N dans l'urne A et N dans l'urne B ce qui fait $P(X_{n+1}=1 | X_n =1)= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}$

    Enfin $\boxed{q_{n+1}= p_n + \dfrac{1}{2} q_n +r_n}$

    Et la matrice $M= \begin{pmatrix} 0 & 1/4 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1/4 & 0 \end{pmatrix} $
  • gerard0
    gerard0
    Tu vois, tu sais faire seul !
  • OShine
    OShine
    Ok merci. J'ai pu terminer l'exercice.

    Pas de difficulté pour la suite, que des calculs.

    Je trouve $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $

    On trouve ensuite $p_n=a+c(-\dfrac{1}{2})^n$ puis $q_n=4a-2c(-\dfrac{1}{2})^n$ et $r_n=a+c(-\dfrac{1}{2})^n$.

    Et donc $p_n \longrightarrow a$ , $q_n \longrightarrow 4 a$ et $r_n \longrightarrow a$

    Mais $p_n+q_n+r_n=1$ donc $6a=1$ et donc $p_n \longrightarrow \dfrac{1}{6} = p_0$ , $q_n \longrightarrow \dfrac{4}{6} = q_0$ et $r_n \longrightarrow \dfrac{1}{6} = r_0$

    Lorsque $n$ est très grand, la loi de $X_n$ tend vers la loi obtenue pour $n=0$ lorsqu'on met les boules au hasard.
  • marsup
    marsup
    En fait la loi de $X_n$ ne dépend même pas de $n$, si ? On part de la distribution stationnaire, donc on y reste pour toujours.
  • OShine
    OShine
    Elle dépend de $n$ mais quand $n$ tend vers l'infini la loi de $X_n$ est équivalente à la loi de $X_0$
  • marsup
    marsup
    Ah, j'avais mal lu : "dans la suite, $X_0$ est quelconque".
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

AlainLyonGG +5 Invités