Mesure et intégration
Bonsoir à tous !
S'il vous plaît, j'ai besoin de quelques réponses.
Je suis en L3 mathématiques. Nous avons débuté la théorie de la mesure et l'intégration mais depuis le début de l'année -bien que je lise mon cours et que je refasse ses démonstrations- je n'ai pas encore réussi à résoudre un seul exercice par mes propres moyens, ce qui ne m'est jamais arrivé dans toutes les autres matières.
Je me questionne donc :
S'il vous plaît, j'ai besoin de quelques réponses.
Je suis en L3 mathématiques. Nous avons débuté la théorie de la mesure et l'intégration mais depuis le début de l'année -bien que je lise mon cours et que je refasse ses démonstrations- je n'ai pas encore réussi à résoudre un seul exercice par mes propres moyens, ce qui ne m'est jamais arrivé dans toutes les autres matières.
Je me questionne donc :
- Pourquoi la théorie de la mesure me semble-t-elle si difficile ?
- Y a-t-il une méthode d'étude particulière pour appréhender cette nouvelle matière ?
- Y a-t-il une façon particulière de se comporter devant un exercice de théorie de la mesure ?
- Quelqu'un a-t-il un bon cours sur le sujet avec des exercices corrigés qui me permettraient de mieux comprendre ?
Réponses
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C'est assez classique de rencontrer des difficultés la première fois que l'on se mesure ( (:P) ) à la théorie de la mesure. Il y a assez soudainement une augmentation dans le niveau d'abstraction, les objets manipulés sont difficilement représentables mentalement (c'est quoi un borélien ?).
Le meilleur conseil que je puisse te donner c'est de renforcer tes bases de raisonnements logiques, de manipulations ensemblistes et de rédaction. Ces trois ingrédients (qui sont liés entre eux) sont absolument fondamentaux pour une bonne compréhension de cette théorie (et pour la suite de tes études en maths).
Pour le cours, tu peux voir si le poly de Jean-Christophe Breton (qui, comme tous ses polys, est très clair progressif) te convient : https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/Integrale_Lebesgue.pdf
Je ne saurais trop te conseiller pour des exercices corrigés par contre. -
Merci pour tes conseils Poirot.
Des trois ingrédients que tu me proposes, comment renforcer ses bases en raisonnement logique ?? -
Tu peux commencer par reprendre des exercices de logique de L1 pour bien manipuler les quantificateurs et les connecteurs logiques. Ensuite, retravailler tes démonstrations d'analyse réelle (celles avec des $\varepsilon$) pour bien intégrer le déroulement d'une démonstration : avoir en tête ce que l'on suppose, ce que l'on veut montrer et comment relier ces deux choses à l'aide de résultats à disposition.
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D'accord, c'est plus clair .
Merci beaucoup !! -
Pour comprendre ce qu'est une mesure, rien de tel qu'une fonction croissante generale sur un intervalle.
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Et si tu développait ton affirmation P. ?
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Sauf quelques nuances, l'ensemble des mesures (positives, on parlera des mesures signées après) sur les réels est en bijection avec les fonctions croissantes à constante additive près. Cette fonction croissante donne la masse d'un intervalle, et ceci permet de définir la masse d'un borélien grâce à la théorie un peu abstraite du premier mois de cours. Bien entendu, on définit aussi une mesure sur un espace abstrait, mais seul le cas des réels donne une description aussi simple de l'ensemble de toutes les mesures.
La plus importante est la mesure de Lebesgue, mais j'ai vu des cours ou seule celle-ci semblait exister. Et les étudiants en sortaient vaguement perplexes en répétant 'chouette on a le doit d’intégrer l'indicatrice des rationnels, avec Riemann on ne pouvait pas'. Certes ils ne savaient pas intégrer une fonction par rapport à une mesure de Dirac. -
@P. : Bien vu !
Pour prolonger ce que dit P. il y a des cours dits "de théorie de la mesure" très différents.
Si Kfc peut préciser ses difficultés, ce sera plus facile de le conseiller, quoique pour le meilleur livre avec des exercices corrigés, j'ai ma petite idée, en toute objectivité bien sûr... -
Bonjour à tous !!
Et merci à vous pour tout. -
Moi c'est clairement à partir des probas que j'ai plus de mal (paradoxalement ?).
En effet, je trouve que la théorie de la mesure (au moins la partie faite classiquement en L3), c'est comme la topologie générale (en gros une sorte d'analyse algébrisée), pas besoin d'être imaginatif, on peut limite faire le robot avec les assertions logiques et opérations ensemblistes associées.
Par contre, à partir des probas (je parle de celles utilisant la théorie de la mesure), j'ai énormément de mal (même celles de L3) et j'ai l'impression que ce "mode robot" ne fonctionne plus. Je ne l'explique d'ailleurs pas car sauf erreur, les probas sont (?) de la théorie de la mesure appliquée. J'ai l'impression, sûrement à tort, qu'une part de subjectivité (sous-entendu plus que dans les autres domaines des maths) apparaît dans toute retranscription écrite d'un ouvrage de probas (et ça me gène), notamment parce que les auteurs utilisent implicitement des choses sans les expliciter formellement (ou du moins pas totalement).
D'ailleurs, si quelqu'un connaît un cours de probas un peu "bourbakique" dans l'approche, je suis preneur. Ma critique est difficile à décrire précisément, mais elle va bien au-delà des abus de notation du genre f(X) ou P(X=a) qui sont des détails insignifiants une fois qu'on en est conscient. -
Bonjour
Il y a effectivement un gros problème lié à l'enseignement, dans le supérieur, de la théorie de la mesure et de l'intégration, sans compter des transformées de Fourier. C'est vraiment dense, beaucoup trop dense ; inutilement dense. Par exemple, en L2, l'on devrait examiner en profondeur les concepts de tribus et de fonctions mesurables (l'on préparerait ainsi le terrain pour les topologies et les fonctions continues) : du point de vue catégorique, n'y a-t-il pas une certaine analogie ?
En L3, l'on devrait examiner en profondeur les concepts de mesures sur une famille de tribus (pas se cantonner à la mesure de Lebesgue) et de $\mu$-intégration sur un espace mesuré (voire probabilisé) $(\Omega,\,\mathscr{T}_{\Omega},\,\mu)$. Ce n'est que mon humble avis.
L'on peut revisiter cette organisation didactique (moments de premières rencontres) de manière à la rendre plus efficace, plus agréable pour l'étude de ce diplodocus (vraiment très intéressant au final).
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Un bon livre, excellemment bien rédigé et bien organisé, que je te recommande prioritairement, c'est celui-ci.
En français, il y en a d'autres que je possède, mais qui ne sont plus vendus.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Un bon livre de probabilités à mon avis (je ne suis pas un expert) que j'avais acheté : https://www.amazon.fr/Probabilités-Master-Agrégation-Jean-Yves-Ouvrard/dp/284225144X
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@Raoul.S : bonsoir. Un livre qui débute au chapitre 8, avec un résumé sur la théorie de la mesure à la fin de l'ouvrage. Personnellement, je le trouve difficilement accessible si l'on ne possède pas a minima un bon capital savoirs/savoir-faire dans la théorie de la mesure et de l'intégration.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Ben oui, il commence au chapitre 8, puisque c'est la suite du tome 1. Les deux peuvent se lire indépendamment.
En fait, on peut commencer à saisir les enjeux des probas dans le tome 1, consacré aux notions élémentaires de probabilités, sans théorie de la mesure, puis utiliser une technique plus élaborée pour traiter du cas général des probas sur des espaces compliqués. C'est d’ailleurs pour cela que je n'ai acheté que le tome 2.
Par contre, je ne sais pas quoi proposer à Topopot, ne sachant pas si son problème c'est l'intuition des questions probabilistes ou si c'est la rigueur d'une présentation des probas. Dans le premier cas, il lui faut le premier tome, dans le deuxième, le tome 2 suffit.
Cordialement. -
@Gérard : bonsoir. Je ne possède pas non plus le tome 1. Je ne possède que le tome 2. En revanche, je préconise ceci en guise d'une bonne introduction aux probabilités, sans douleurs, avant de passer au dit ouvrage. Remarquons toutefois que les préoccupations de l'auteur de ce fil concernent la théorie de la mesure et de l'intégration en général, d'où cette intervention.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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@Raoul.S : je pensais honnêtement que tu t'adressais à l'auteur de ce fil. Je suis désolé pour cette confusion.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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