Produit de densité

Si on note X=UV avec U et V étant toutes les deux Uniforme sur [0;teta], comment peut-on calculer la densité de X ?

Il suffit de commencer par chercher la fonction de répartition de $X$.

Justement, pour trouver la fonction de répartition de $X$ il faut trouver sa densité

Non, pas forcément. Ici, en l'occurrence, on fait l'inverse. Cherche $P(X\leqslant x)$ pour tout $x\in [0;\theta^2]$. Pour cela, je te conseille de faire un dessin. Quels sont les couples $(U,V)$ qui permettent d'avoir $UV\leqslant x$ ?

Sans perte de generalite on va supposer $ \theta=1$. Si $U$ et $V$ sont uniformes et independantes sur $[0,1]$ il y a plusieurs manieres de calculer la densite $f_X(x)$ de $X=UV.$ Voici la Methode Guego, qui te conseille de dessiner dans le carre $[0,1]^2$ l'ensemble des points $M$ de coordonnees $(u,v)$ tels que de plus $uv<x$ ou $0<x<1$ et $x$ est fixe (attention $x$ n'est pas l'abscisse de $M$). Cela donne une aire $A$ limitee par des parties du perimetre du carre et surtout par l'hyperbole $uv=x.$ Et $\Pr(UV<x)$ est l'aire de $A.$ A vrai dire le complementaire $B$ de $A$ par rapport au carre est moins complique et $\Pr(UV\geq x)$ est l'aire de $B$ qui est $$\int_x^1f_X(t)dt=\Pr(X\geq x)=\Pr(UV\geq x)=\int_x^1\left(1-\frac{x}{u}\right)du.$$ Tu calcules la derniere integrale, tu derives l'egalite ci dessus par rapport a $x$ et tu atterris sur $f_X(x).$

Si tu dessines $B,$ tu vois que pour $u$ fixe dans $[x,1]$ alors le point $(u,v)$ est dans $B$ si et seulement si $v$ est dans le segment $[\frac{x}{u},1]$ de longueur $1-\frac{x}{u}.$

N'y a-t-il pas un moyen calculatoire d'obtenir ce résultat ? Oui: $$\Pr(UV\geq
x)=\mathbb{E}(\Pr(V\geq \frac{x}{U}
|U)=\int_x^1\left(1-\frac{x}{u}\right)du.$$ Ou bien la formule generale pour le produit de deux va independantes positives ayant des densites, dite convolution multiplicative
$$f_{UV}(x)=\int_0^{\infty}f_U(u)f_V(\frac{x}{u})\frac{du}{u}$$

1) Dans les posts précédents, j'ai pris $\theta=1$ en disant 'sans perte de généralite', mais j’hésite à me lancer dans des explications sur ce point élémentaire.

2) Pour $\theta=1$ donc, on a
$$\int_x^1f_X(t)dt=\int_x^1\left(1-\frac{x}{u}\right)du= \left[u-x\log u\right]_x^1=1-x+x\log x.$$ Donc, d’après le théorème fondamental du calcul intégral (*)
$$\frac{d}{dx}\int_x^1f_X(t)dt\stackrel{(*)}{=}-f_X(x)=\frac{d}{dx}(1-x+x\log x)=-\log x.

$$ 3) Tu as mal appliqué la formule générale en ne tenant pas compte du fait que ici $f_U$ et $ f_V$ sont nuls sur $]\theta,\infty[.$

Et pourtant, le facteur y etait dans ton avant dernier post.