Comparaison de deux V.A indépendantes
Soit X et Y, deux variables aléatoires indépendantes de même loi, de fonction de répartition continue sur $\R$.
Calculer la probabilité suivante : $ P(X>Y) $. On note $f$ leur densité de probabilité.
Ce que j'ai fait : $ P(X > Y) = P( X - Y >0) = \iint_{x>y} f(x) f(y) dx dy = \int_{- \infty}^ { + \infty} \int_{y}^{+ \infty } f(x)f(y) dx dy = \int_{- \infty}^ { + \infty} \int_{0}^{+ \infty } f(y)f(y+x) dx dy $.
Je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct, et comment continuer !
Merci tout le monde.
Calculer la probabilité suivante : $ P(X>Y) $. On note $f$ leur densité de probabilité.
Ce que j'ai fait : $ P(X > Y) = P( X - Y >0) = \iint_{x>y} f(x) f(y) dx dy = \int_{- \infty}^ { + \infty} \int_{y}^{+ \infty } f(x)f(y) dx dy = \int_{- \infty}^ { + \infty} \int_{0}^{+ \infty } f(y)f(y+x) dx dy $.
Je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct, et comment continuer !
Merci tout le monde.
Réponses
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$X-Y$ et $Y-X$ étant de même loi continue, il est évident que $\Pr(X-Y>0)=\Pr(Y-X\geq 0)$ et la valeur de $\Pr(X-Y>0)$ s'impose sans calcul quand la probabilité d'un événement est égale à celle de son complémentaire.
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Bien compris ! Est-ce qu'il n'y a pas un moyen par calcul comme proposé ci-dessus ?
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Comme tu connais le resultat du calcul que tu as entame, tu peux facilement le terminer.
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Parce que la question qu'on me demande est plus générale ! J'ai une suite de variables aléatoires $ (Xi)_{0 \leq i \leq n}$ avec $n$ un entier non nul, et pour un autre entier $ N$ inférieur à $n$. on me demande de calculer la probabilité telle que : $ X_{N} > \max_{i <N} X_{i} $.
Je ne sais pas comment avancer dans le calcul, car il est similaire à celui de dessus, c'est pour ça que je me demande si il y a bien un moyen pour le faire, comme ce je peux tenter ou trouver une chance à le généraliser ! :-( -
Dans le problème particulier que tu as en tête, si les $X_i$ sont de loi continue alors sans perte de généralite on peut supposer qu'ils sont uniformes sur $[0,1].$ En effet si $F(x)=\Pr(X<x)$ alors
1) $X'_i=F(X_i)$ est uniforme sur $[0,1]$
2) Les événements $A=\{ X_N>\max_{i<N}X_i\}$ et $A'=\{ X'_N>\max_{i<N}X'_i\}$ coïncident.
Les calculs sont faciles en conditionnant d'abord par $X_N$ et tu devrais trouver $\Pr(A)=1/N.$ -
Oui, je fais une simulation informatique et effecitvement je trouve 1/N.
tu peux m'éxpliquer svp " alors sans perte de généralite on peut supposer qu'ils sont uniformes sur [0,1] ".
et les lois sont bien continues.
Merci -
Le 'en effet' ne te suffit point?
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J'ai la honte de le dire.
Mais non, je n'ai pas compris pourquoi les $ X^{'} _{i} $ est uniforme ... :-X -
Soit $F(x)=\Pr(X\leq x)$ et $0< a<b< 1.$ Comme $F$ est continue, d'apres le theoreme des valeurs intermediaires il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $a=F(\alpha)<b=F(\beta)$. Alors
$$\Pr(a\leq X'\leq b)=\Pr(F(\alpha)\leq F(X)\leq F(\beta))=\Pr(\alpha\leq X\leq \beta)\stackrel{(*)}{=}F(\beta)-F(\alpha)=b-a.$$
(*) car $F$ est continue. -
Merci, t'es un champion :-D
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