Probabilité que cela arrive ?

Avec n personnes, si à chaque étape, on fait totalement confiance au hasard, (si un participant tire son cadeau, en cours de processus, il garde son propre cadeau), alors la probabilité que la dernière personne se retrouve avec son propre cadeau est de 1/n.
Donc ici, quasiment 5%

Peu importe que n soit pair ou impair.
Le calcul est assez simple.

Je fais un calcul un peu différent, très simple :
J'ai une probabilité 20/21 de recevoir un cadeau qui me convient (c.a.d. pas le cadeau que j'avais moi-même apporté).
Considérons les événéments indépendants (on sait que c'est faux, mais l'impasse ne prête pas vraiment à conséquence).
On a alors une probabilité de $(20/21)^{21}$ que chacun reçoive un cadeau qui lui convient.
Et donc une probabilité de $1-(20/21)^{21} = 0.64$ qu'au moins une des personne tire sur son propre cadeau.
La vraie valeur est un peu inférieure à ce 0.64, parce qu'on a considéré les événements indépendants, alors qu'ils ne le sont pas.

Le 63% que tu obtiens semble tout fait correct.

Bravo a lourrran et plm pour leur intuition et leurs excellentes approximations, bien que je ne comprenne pas exactement leur modele. Celui ci semble etre celui de la probabilite uniforme sur les 21! permutations, alors qu'il ne saurait y avoir plusieurs points fixes. La ressemblance avec le probleme des rencontres est claire, mais malgre tout, le resultat ne coincide pas exactement. On garde le modele B ci dessus. On pose $s_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!.$ S'il y a $n$ participants, on note $p_n$ la probabilite pour que le dernier se retrouve avec son propre cadeau. Par exemple $p_0=0,\ p_1=1,\ p_2=0, p_3=1/2, p_4=1/3.$ On va montrer que $$ \boxed{p_n=s_{n-1}}\ \ (*)$$ a peu pres $e^{-1}\sim $37% si $n$ est grand. Ce nombre n'est pas petit et explique que l'auteur du fil avait de bonnes chances de se retrouver dans cette inconfortable situation. Pour cela, s'il y a $n$ participants, on note par $q_{n,k}$ la probabilite pour que, dans le modele B, le cycle contenant 1 soit de longueur $k.$ Par exemple $$q_{n,1}=0,\ q_{n,2}=\frac{1}{n-1}, q_{n,3}=\frac{n-2}{n-1}\times \frac{1}{n-2}=\frac{1}{n-1}.$$ En fait, $q_{n,k}=\frac{1}{n-1}$ pour $k=2,\ldots,n.$ Ensuite, le lien avec les $p_n$ est le suivant : pour $n\geq 3$
$$p_n= \sum_{k=2} ^nq_{n,k} p_{n-k}= \frac{1}{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}p_k.\ \ (**)$$ Un raisonnement par recurrence permet de passer de (**) a (*).

Lourran a écrit:

Attention, le 37% en question, c'est la probabilité que l'un au moins des participants retombe sur son propre cadeau.

Euh, non. 37%, c'est la proportion de dérangements. Donc personne n'a son cadeau. C'est pour cela que je parlais de paradoxe : 5% et 63 %. Peu de chance pour une personne particulière, mais toutes les chances sur le groupe, d'avoir son propre cadeau.

Tu le dis toi-même : "On a alors une probabilité de (20/21)^21 que chacun reçoive un cadeau qui lui convienne"