Passage à l'espérance dans une martingale

Salut. Je suppose que $\tau$ est un temps d'arrêt, alors on a
$$\mathbb{P}(\{\tau = n\}\cap A_{n+1})=\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau = n\}}\mathbf{1}_{A_{n+1}}\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau = n\}}\mathbf{1}_{A_{n+1}}|\mathcal{F}_n\right]\right]=\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{A_{n+1}} | \mathcal{F}_n\right]\right]=\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau = n\}}\mathbb{P}\left(A_{n+1}|\mathcal{F}_n\right)\right]$$

Il me semble que l'indépendance n'intervient pas : on utilise seulement les propriétés des fonctions indicatrices et la $\mathcal{F}_n$-mesurabiltié de $\mathbf{1}_{\{\tau = n\}}$.