Variance de f(X)

Milamber · December 2020

Bonjour,

(Pardon si la question est un peu tarte, ça fait un certain temps que je ne baigne plus dans les proba)

Je lis au détour d'un article de recherche (en bio, pas en math !) que si on a une variable aléatoire $X$ d'espérance $m$, et dont la variance est directement une fonction de $m$ (mettons $var(X) = f(m)$), alors pour toute fonction $g$ on a l'approximation suivante : $var(g(X)) \approx (g'(m))^2 f(m)$. C'est annoncé sans justification particulière.

Comment démontre-t-on ce résultat ?

Merci !

Lucas · December 2020

Bonjour,

Imaginons que $X$ est très proche de son espérance $\mathbb{E}[X]$ (par exemple avec une grande proba $X$ est proche de sa moyenne à $0.01$ près, ça peut arriver si $X$ est une moyenne renormalisée de v.a. iid).

Alors par la formule de Taylor
$$
g(X)\approx g(\mathbb{E}[X]) + g'(\mathbb{E}[X])\times (X-\mathbb{E}[X])
$$
Et donc en passant à la variance
\begin{align*}
\mathrm{Var}(g(X))&\approx 0 + g'(\mathbb{E}[X])^2 \times \mathrm{Var}(X-\mathbb{E}[X])\\
&=g'(\mathbb{E}[X])^2 \times \mathrm{Var}(X)
\end{align*}
Pour donner un sens plus propre à tout ça le bon mot-clef est "delta-méthode" dans tout bon livre de statistique inférentielle.

Milamber · December 2020

Merci pour cette explication (et pour la référence) (tu)

Variance de f(X)

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Bonjour!

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