Une implication entre limites

Bonjour,
En revenant aux définitions des diverses notions intervenant dans les hypothèses, tu peux dire ceci:
Soit $\varepsilon>0.$

$\bullet\quad \exists s_0 \in ]0;+\infty[$ tel que $s_0^p<\varepsilon.\qquad \forall s \in [0;s_0], \quad\:\: \forall n \in \N: \quad\: s^p \Pr (X_n>s) <\varepsilon. $

$\bullet \quad \displaystyle \lim_{s\to + \infty}s^p\Pr(Y>s) =0\:\:$ donc $\:\:\exists s_1>s_0 $ tel que $\forall s \in [s_1;+\infty[,\:\:\forall n \in \N:\:\:\quad s^p\Pr (X_n>s)\leqslant s^p\Pr(Y>s) <\varepsilon.$

$\bullet \quad (X_n)_n \:\text { converge en probabilité vers }\:\:0\:\:$ donc $ \:\:\exists N \in \N$ tel que $\forall n\geqslant N:\quad s_1^p \Pr(X_n>s_0)<\varepsilon.\quad $ Ainsi:
$\qquad\forall n\geqslant N; \quad \forall s\in [s_0;s_1]: \quad s^p \Pr(X_n>s)< \varepsilon.\:\:\quad$

De ces trois points, on déduit alors:

$$ \forall \varepsilon>0,\:\: \exists N \in \N\:\text{tel que}\: \forall n \geqslant N,\:\forall s \in \R^+:\quad s^p\Pr(X_n>s) <\varepsilon. \\ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}\underset{s\geqslant 0}{\sup}\left(s^p \Pr(X_n>s)\right) =0 \:\:\square$$