Espérance conditionnelle

Bonjour,

On a $X,Y,Z$ des variables aléatoires.
Lorsqu'on a $\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Z)$, a-t-on toujours $\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(ZY)$ ? (ça fonctionne évidemment très bien quand les variables sont indépendantes de $Y$ mais dans le cas général ?)
(on suppose que toutes les espérances sont bien définies)

Je serais tenté de dire oui, en utilisant la preuve suivante, mais j'ai le sentiment que c'est trop simple, que je commets une erreur grossière et qu'on peut trouver un contre-exemple trivial. Si tel est le cas, où est-ce que je me plante, et dans quel cadre utiliser ce type de raisonnement (ou on sort et remplace des variables en "conditionnant" les espérances) ?

$\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(XY) \mid Y) = \mathbb{E}(Y.\mathbb{E}(X) \mid Y) = \mathbb{E}(Y.\mathbb{E}(Z) \mid Y) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(YZ) \mid Y) = \mathbb{E}(YZ)$

(le $\mathbb{E}(. \mid .)$ représente l'espérance conditionnelle).