Espérance de XY, X centrée

Bonjour
On a $X$ une variable aléatoire centrée et finie (par exemple on a $X$ à valeurs dans $\{ -1,1 \}$ avec $P(X=1)=P(X=-1)=1/2$), et $Y$ une variable bornée. A-t-on toujours $\mathbb{E}(XY) = 0$ ?

Déjà, l'espérance du produit existe car $Y$ bornée.
Si elles sont indépendantes, évidemment oui, mais si elle ne le sont pas ?

J'ai pensé à utiliser la formule de l'espérance totale mais je ne sais pas si on peut conclure avec ça :
$\mathbb{E}(XY)=P(X=1)\mathbb{E}(XY \mid X=1) + P(X = -1)\mathbb{E}(XY \mid X=-1) = 1/2 (\mathbb{E}(Y \mid X=1) - \mathbb{E}(Y \mid X=-1).$
Mais rien ne nous dit que $\mathbb{E}(Y \mid X=1) = \mathbb{E}(Y \mid X=-1)$ si (sans l'hypothèse d'indépendance encore un fois) ?

Autre piste, utiliser Cauchy-Schwarz et/ou utiliser une nouvelle fois le fait que $Y$ est bornée pour conclure (j'imagine que $E(XY)=0$ n'est pas nécessaire quand $Y$ non bornée) ?

[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]