Espérance et maximum

1) Intégration par parties, puis $F-x)= 1 -P(X>x)$ , et enfin la démonstration de @Chaurien

2 b) i) Il faut utiliser l'inégalité de Bernoulli.

$ (1+u)^n \geq 1 + n u \implies 1 - ( 1- e^{- \lambda t})^n \leq n e^{- \lambda t} $
La borne est le terme d'une intégrale convergente.

ii) d'après 1b)

3 b)
J'ordonne les $X_i$

$X_{ (n)} = ( X_{ (n)} - X_{ (n-1)} ) + \dots + ( X_{(2)} - X_{ (1) } ) + X_{(1)} := \sum_{k=1} ^ n Z_k $

Les $Z_k$ sont indépendants et suivent la loi du minimum de $k$ $\mathcal{E}(1)$, donc $Z_k \sim \mathcal{E} (k)$.
du à la propriété memoryless des exponentielles.

$E(S_n) =\dfrac{1}{ \lambda} \sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{ k} \sim \dfrac{1}{ \lambda} ln(n) $