Espérance et maximum
Je fais cet exercice.
Réponses
-
2 a) $ F_n(t)= (1 - e^{ - \lambda t} )^n \implies f_{S_n}(t)= n \lambda e^{ - \lambda t} (1 - e^{ - \lambda t} )^{n-1} $
support $\mathbb{R}_+$ -
2 b) i) Il faut utiliser l'inégalité de Bernoulli.
$ (1+u)^n \geq 1 + n u \implies 1 - ( 1- e^{- \lambda t})^n \leq n e^{- \lambda t} $
La borne est le terme d'une intégrale convergente.
ii) d'après 1b) -
3 a) $\dfrac{ X_{n+1} }{ n+1} \sim \mathcal{E} ( \lambda (n+1) )$
-
3 b)
J'ordonne les $X_i$
$X_{ (n)} = ( X_{ (n)} - X_{ (n-1)} ) + \dots + ( X_{(2)} - X_{ (1) } ) + X_{(1)} := \sum_{k=1} ^ n Z_k $
Les $Z_k$ sont indépendants et suivent la loi du minimum de $k$ $\mathcal{E}(1)$, donc $Z_k \sim \mathcal{E} (k)$.
du à la propriété memoryless des exponentielles.
$E(S_n) =\dfrac{1}{ \lambda} \sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{ k} \sim \dfrac{1}{ \lambda} ln(n) $ -
Cela conclut l'exercice, même si j'ai omis la propriété memoryless de la loi exponentielle.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres