Soient $X_1,X_2$ deux uniformes sur $[0,1]$, et $Z_2$ le produit,
$P (Z_2 <z)= \int_{0}^{1} P(Z_2 <z | X_1=x) f_{X_1}(x) dx = \int_{0}^{1} P(X_2 < \frac{z}{x} | X_1=x) f_{X_1}(x) dx $
Comme $x$ et $z$ sont dans $[0,1]$, $ \frac{z}{x} <1 \iff x >z$, donc on coupe l'intégrale en deux
$P (Z_2 <z) = \int_{0}^{z} 1 dx + \int_{z}^{1} \frac{z}{x} dx = z - z \ln z$
Donc $Z_2$ a pour densité $- \ln z$
Pour $Z_3$ ,le produit de trois uniformes, on a de même :
$\begin{align*}
F(z) &= - \int_{x=0}^z \ln x dx - \int_{x=z}^{1} \frac{z}{x} \ln x dx \\
&= z \ln z-z - z \frac{1}{2} (\ln z ) ^2 \\
f'(z) &= - \frac{1}{2} \ln(z) \\
\end{align*}
$
On en déduit par récurrence : $f_{Z_n}(z) = \frac{ (- \ln z)^{n-1} }{ (n-1)!}$
Sinon $ \ln Z_n \sim \gamma(n)$ puis on fait un changement de variable.
Réponses
1a) $P(A<t)= P( \ln X <t ) = P( X < e^t) = F(e^t) \implies f_A(t)= e^t f(e^t) $
Soient $X_1,X_2$ deux uniformes sur $[0,1]$, et $Z_2$ le produit,
$P (Z_2 <z)= \int_{0}^{1} P(Z_2 <z | X_1=x) f_{X_1}(x) dx = \int_{0}^{1} P(X_2 < \frac{z}{x} | X_1=x) f_{X_1}(x) dx $
Comme $x$ et $z$ sont dans $[0,1]$, $ \frac{z}{x} <1 \iff x >z$, donc on coupe l'intégrale en deux
$P (Z_2 <z) = \int_{0}^{z} 1 dx + \int_{z}^{1} \frac{z}{x} dx = z - z \ln z$
Donc $Z_2$ a pour densité $- \ln z$
Pour $Z_3$ ,le produit de trois uniformes, on a de même :
$\begin{align*}
F(z) &= - \int_{x=0}^z \ln x dx - \int_{x=z}^{1} \frac{z}{x} \ln x dx \\
&= z \ln z-z - z \frac{1}{2} (\ln z ) ^2 \\
f'(z) &= - \frac{1}{2} \ln(z) \\
\end{align*}
$
On en déduit par récurrence : $f_{Z_n}(z) = \frac{ (- \ln z)^{n-1} }{ (n-1)!}$
Sinon $ \ln Z_n \sim \gamma(n)$ puis on fait un changement de variable.
On considère le deuxième moment d'une gaussienne.
$f_C(t)= \int_{ - \infty}^{\infty} e^{t-u} e^{u} f(e^u) \mathbb{1}_ {u <0} du = e^t \int_{t}^{+ \infty} f(e^u) du$
J'ai rectifié mon erreur.
$
\begin{align*}
P(T <t) & = P( X <t) \frac{1}{2} +( 1 - P(Y<-t) ) \frac{1}{2} \\
f_T(t) & = \frac{1}{2} f_Y(t) + \frac{1}{2} f_Y(-t) \\
&= \frac{1}{2} f_Y(t) + 0 \\
&= \frac{1}{2} \alpha x^2 e^{ - \frac{x^2}{2} } \\
\end{align*}
$
$ f_Y(t) = \frac{1}{t} f_C( \ln t) = \int_{ \ln t}^ { \infty} f(e^u) du = \int_{t}^{\infty}f(u) du $
On obtient le résultat par itération.
J'ai trouvé mon erreur. Cela clôt le fil.